§7.5数学归纳法。
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学问题。
运用数学归纳法证明数学问题。
数学归纳法在高考中有加强的趋势，估计会与数列、不等式等知识相结合出一道中档难度的解答题。预计在2023年的高考中，仍将重点考察归纳结论和利用归纳法证明。
再现型题组
1.用数学归纳法证明：“”在验证时，左端计算所得的项为（ ）
2.在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为时，第一步应检验等于
3．用数学归纳法证明。
时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是a． b． c． d．
4 .用数学归纳法证明对n为正偶数时某命题成立，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证。
a．时等式成立 b．时等式成立。
c．时等式成立 d．时等式成立。
5.设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推。
出成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
ａ．若成立，则当时，均有成立。
ｂ．若成立，则当时，均有成立。
ｃ．若成立，则当时，均有成立
ｄ．若成立，则当时，均有成立 .
巩固型题组
6.已知，且，求证。
7. 已知数列中，，.
ⅰ)求的值；
ⅱ)推测数列的通项公式，并证明。
8. 用数学归纳法证明等式：
提高型题组
9.是否存在常数使等式。
对一切自然数都成立，并证明你的结论。
10. 已知数列是等差数列，．
1）求数列的通项公式；
2）设数列的通项an＝lg（1＋），记sn为的前n项和，试比较sn与的大小，并证明你的结论．
反馈型题组
11. 1.设，则（ ）
a． b． c． d．
12.凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为 (
13.用数学归纳法证明“1+++n（n∈n*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是。
a.2k－1b.2k－1c.2kd.2k+1
14．某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立。 现已知当时该命题不成立，那么可推得 （
a．当n=6时该命题不成立 b．当n=6时该命题成立。
c．当n=4时该命题不成立 d．当n=4时该命题成立。
15.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…n+n）=2n·1·3·…·2n－1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为
16．由归纳原理分别探求：
1)凸n边形的对角线条数f(n
2)平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f(n
17证明：当时，
18.（2004重庆）设数列满足a1=2，an+1=an+ （n=1，2，…）
1）证明an＞对一切正整数n都成立；
2）令bn= （n=1，2，…）判定bn与bn+1的大小，并说明理由。
7.5数学归纳法（解答部分）
再现型题组。
1.【提示或答案】。提示：将代入式子，左边最高次应是，再结合式子的特征可知选。
基础知识聚焦】利用数学归纳法证明问题时，一定注意观察式子的结构特征，确定形式。
2. 【提示或答案】
3.【提示或答案】b.提示：将上式中的分别换为和，得到两个式子，在比较两个式子的差异。
基础知识聚焦】用数学归纳法证明等式或不等式时，由到时，要弄清等式或不等式的两边会增加多少项？增加怎样的项？
4. 【提示或答案】b.提示：因为为正偶数，故为偶数）时，下一个偶数应该是。
基础知识聚焦】假设成立时，推证的不一定就是，关键是要弄清的“后继数”是什么？当为奇数或偶数时，其“后继数”是，当为自然数时，其“后继数”是。
5. 【提示或答案】d 提示：对于，若成立，由题意只可得出时，均有成立，故错误；对于，若成立，则当时均有，故错误；对于，应改为“若成立，则当时均有”；故选。
基础知识聚焦】在用数学归纳法证明的过程中，由成立推出成立时，必须满足（是是验证的能取得的正整数）。
巩固型题组
6.不等式
证明一】（数学归纳法）（1）当时。左边，右边，左边右边，不等式成立。（2）假设时不等式成立，即，当时。
时不等式也成立。由（1）（2）对任意，且，不等式都成立。
证明二】，从而不等式得证。
证明三】令，则，，，所以在上为增函数，所以，所以时，故。
证明四】设，则所以数列单调递增，故当时，，即。
点评】对于与正整数有关的命题，可考虑数学归纳法或二项式定理或构造函数，特别的若在幂指数的位置时，利用二项式定理较为方便。
7. 解。 ，即++，
，即+++猜想。证明如下：
证明一】（1）当时，，结论成立。
假设时成立，即。即 由。
得=，说明当时，结论也成立。
综合上述，可知对一切n∈n，都有。
证明二】,相减得，累乘可得：
点评】证明一采用了归纳猜想证明，证明二采用逐商求积，都是处理求通项问题的通法通解，二者要灵活运用。
8.. 当时，左边，右边，∴左边=右边，时等式成立；
假设时等式成立，即。
当时，左边。
右边，即时等式成立，根据，等式对都正确。
点评】（1）数学归纳法证题的步骤：①即先验证使结论有意义的最小的正整数，即当时，命题成立；②假设当(，≥时，命题成立。根据这个假设，推出当时，命题也成立；③由①②可知命题得证。
以上三个步骤缺一不可。
2）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式（或不等式）时，关键在于“先看项”，弄清式子的构成规律，等式（或不等式）的两边各有多少项？项的多少与的取值是否有关？由到时，等式的两边会增加多少项？
增加怎样的项？
提高型题组。
9.【解法一】 解：令n=1，得 1= (1+a)(1+b)，令n=2，得 4= (2+a)(2+b)，整理得解得a=1，b=2.
下面用数学归纳法证明等式：
(1)当时，1=·1·2·3，结论成立。
2)假设时结论成立，即。
当时，则。说明当时结论也成立。
综合上述，可知结论对一切都成立。
解法二】比较可知。
点评】解法一利用特殊值探路，再证明，是处理“是否存在型”问题的常规解法。解法二利用了分组求和法，关键时弄清等式两边的构成规律，也是常用的公式。
变式与拓展】是否存在正整数，使得对任意正整数n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。
答案】由，得f（1）=36， f（2）=3×36， f（3）=10×36， f（4）=34×36，由此猜想m=36.
下面用数学归纳法证明：
1）当时，显然成立。
2）假设时，能被36整除，即能被36整除；当时，由于是2的倍数，故能被36整除。这就是说，当时，也能被36整除。
由（1）（2）可知对一切正整数n都有能被36整除，m的最大值为36.
10.（1）容易得ｂn＝2n－1
2）由ｂn＝2n－1，知sn＝lg（1＋1）＋1g（1＋）＋lg（１＋lg又1gbn＋１＝1g，因此要比较sn与1gbn＋１的大小，可先比较（1与的大小。 取n=1，2，3可以发现：前者大于后者，由此推测。
下面用数学归纳法证明上面猜想：
当n=1时，不等式①成立。
假设n=k时，不等式①成立，即。
那么n=k+1时，. 又［］2－（）2＝＞０
当n=k+1时①成立。
综上所述，n∈n*时①成立．
由函数单调性可判定sn＞1gbn＋１.
点评】用数学归纳法证明不等式，推导也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均要灵活运用。在证明过程中，常常利用不等式的传递性对式子放缩，建立关系。
证明二】设数列的前和为，则当时，，当时也成立。又因为。
所以，故。证明三】提示：令，得，数列单调递增，所以。
可证得结论。
课堂小结。1.数学归纳法的步骤、原理、注意事项：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
2.题型。方法。思想：证明恒等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列问题；证明的关键是”找出与的递推关系，用好归纳假设，凑出结论”
11.ｄ12.ｃ.13.ｃ.14.ｃ.14. 15.(1) (2) n2-n-1
17.【证明一】（数学归纳法）（1）当时，左边，右边，右边=左边，所以等式成立。
2）假设时等式成立，即。
则时。所以当时，等式成立。
由（1）（2）可知，对一切等式成立。
证明二】（裂项相消）
从而等式得证。
18.（1）证法一：当n=1时，a1=2＞，不等式成立。
假设n=k时，ak＞成立，当n=k+1时，ak+12=ak2++2＞2k+3+＞2（k+1）+1，当n=k+1时，ak+1＞成立。
综上，由数学归纳法可知，an＞对一切正整数成立。
证法二：当时，a1=2＞=结论成立。
假设时结论成立，即ak＞，当时，由函数的单调递增性和归纳假设有。
ak+1=ak
当时，结论成立。
因此，an＞对一切正整数n均成立。
2）解： =1+）＜1+）=1.故。
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