1. 如图，在三棱柱abc—a1b1c1中，每个侧面均为正方形，d、e分别为侧棱ab、cc1的中点，ab1与a1b的交点为o.
（1）求证：cd//平面a1eb；
（2）求证：平面a1eb.
证明：（1）连接od，因为o为ab1的中点，d为ab的中点，所以od//bb1，且。
又e是cc1中点，则ec//bb1
且，即ec//od且ec=od。
则四边形ecdo为平行四边形，所以eo//cd。
又平面a1be，平面a1be，则cd//平面a1be 7分。
（2）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，所以bb1 平面abc
因为平面abc，所以bb1 cd
由已知得ab=bc=ac，所以cd ab
所以cd平面a1abb1。
由（1）可知eo//cd，所以eo平面a1abb1，所以eo ab1
因为侧面是正方形，所以ab1 a1b
又平面a1eb，平面a1eb
所以ab1平面a1be。
2.如图，在底面是正方形的四棱锥中，点在上，且。
1）求证：平面；
2）在棱上是否存在一点，使得平面？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
解析： (2)为的中点， =
3. 如图，在四棱锥中，平面平面．四边形为正方形，且为的中点，为的中点．
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）若，为中点，在棱上是否存在点，
使得平面⊥平面，并证明你的结论。
证明：（ⅰ因为四边形为正方形，则。 …1分。
又平面平面，且面面，所以平面3分。
ⅱ）取sc的中点r，连qr, dr．
由题意知：pd∥bc且pd=bc．……4分。
在中，为的中点，r为sc的中点，所以qr∥bc且qr=bc．
所以qr∥pd且qr=pd，则四边形为平行四边形7分。
所以pq∥dr.又pq平面scd，dr平面scd，
所以pq∥平面scd10分。
ⅲ）存在点为中点，使得平面平面11分。
连接交于点，连接、，因为，并且，所以四边形为平行四边形，所以。
又因为为中点，所以12分。
因为平面平面，平面平面=，并且，所以平面，所以平面13分。
又因为平面，所以平面平面14分。
4. 在四棱锥中，底面是菱形，.
ⅰ）若，求证：平面；
ⅱ）若平面平面，求证：；
ⅲ）在棱上是否存在点（异于点）使得∥平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由。
ⅰ）证明：因为底面是菱形。
所以1分。因为，所以平面3分。
ⅱ）证明：由（ⅰ）可知。
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面5分。
因为平面，所以7分。
因为底面是菱形，所以。
所以8分。ⅲ）解：不存在。 下面用反证法说明9分。
假设存在点（异于点）使得∥平面。
在菱形中，∥，因为平面，平面，所以∥平面。
11分。因为平面，平面，所以平面∥平面。
13分。而平面与平面相交，矛盾14分。
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