立体几何证明垂直。
1. 如图，正方形abcd所在平面与三角形cde所在平面相交于cd，ae⊥平面cde．求证：ab⊥平面ade；
2.如图，已知四棱锥p﹣abcd中，底面abcd是直角梯形，ab∥dc，ab⊥ad，∠abc=45°，dc=1，ab=2，pa⊥平面abcd， 求证：bc⊥平面pac；
3.如图，四棱锥p﹣abcd的底面是正方形，pd⊥底面abcd，点e在棱pb上．求证：平面aec⊥平面pdb；
4.如图，在四棱锥s﹣abcd中，底面abcd是正方形，四个侧面都是等边三角形，ac与bd的交点为o，e为侧棱sc上一点．（1）当e为侧棱sc的中点时，求证：sa∥平面bde；（2）求证：
平面bed⊥平面sac．
5.如图，已知四棱锥p﹣abcd的底面abcd是菱形，pa⊥平面abcd，点f为pc的中点．
1）求证：pa∥平面bdf；（2）求证：pc⊥bd．
6.如图，在三棱锥p﹣abc中，pa⊥平面abc，平面pab⊥平面pbc．求证：bc⊥ab．
7.如图，在四棱锥p﹣abcd中，平面pad⊥平面abcd，ab=ad，∠bad=60°，e、f分别是ap、ad的中点，求证：
1）直线ef∥平面pcd；（2）平面bef⊥平面pad．
试卷答案。1.【解答】证明：
（ⅰae⊥平面cde，cd平面cde，ae⊥cd，又在正方形abcd中，cd⊥ad，ae∩ad=a，cd⊥平面ade，又在正方形abcd中，ab∥cd，ab⊥平面ade．…
2.【解答】证明：（1）∵四棱锥p﹣abcd中，底面abcd是直角梯形，ab∥dc，ab⊥ad，abc=45°，dc=1，ab=2，pa⊥平面abcd，pa=1，bc⊥ac，bc⊥pa，ac∩pa=a，∴bc⊥平面pac．
3.【解答】（ⅰ证明：∵四边形abcd是正方形，∴ac⊥bd，pd⊥底面abcd，pd⊥ac，∴ac⊥平面pdb，平面aec⊥平面pdb．
4.证明：（1）连接oe，当e为侧棱sc的中点时，oe为△sac的中位线，所以sa∥oe，因为sa平面bde，oe平面bde，所以sa∥平面bde．
2）因为sb=sd，o是bd中点，所以bd⊥so，又因为四边形abcd是正方形，所以bd⊥ac，因为ac∩so=o，所以bd⊥平面sac．
又因为bd平面bde，所以平面bde⊥平面sac．
5.【解答】证明：（1）连接ac，bd与ac交于点o，连接of．
abcd是菱形，o是ac的中点．
点f为pc的中点，of∥pa．
of平面bdf，pa平面bdf，pa∥平面bdf．
2）∵pa⊥平面abcd，pa⊥bd．
又∵底面abcd是菱形，bd⊥ac．
又pa∩ac=a，pa，ac平面pac，bd⊥平面pac．
又∵pc平面pac，pc⊥bd
6.【解答】证明：在平面pab内，作ad⊥pb于d．
平面pab⊥平面pbc，且平面pab∩平面pbc=pb．
ad⊥平面pbc，又bc平面pbc，ad⊥bc．
又∵pa⊥平面abc，bc平面abc，pa⊥bc，∴bc⊥平面pab．
又ab平面pab，∴bc⊥ab．
7.【解答】证明：（1）在△pad中，因为e，f分别为ap，ad的中点，所以ef∥pd．
又因为ef不在平面pcd中，pd平面pcd
所以直线ef∥平面pcd．
2）连接bd．因为ab=ad，∠bad=60°．
所以△abd为正三角形．因为f是ad的中点，所以bf⊥ad．
因为平面pad⊥平面abcd，bf平面abcd，平面pad∩平面abcd=ad，所以bf⊥平面pad．
又因为bf平面ebf，所以平面bef⊥平面pad．
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