垂直的证明。
垂直证明线线垂直
1 勾股定理 2 正方形菱形（对角线边之间） 3等腰三角形底边的中线。
4 相似全等 5转化为线面垂直。
线面垂直线线垂直（两条交线。
面面垂直线面垂直线线垂直。
西城16．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是矩形，m、n分别为pa、bc的中点，pd⊥平面abcd，且pd=ad=，cd=1
（2）证明：mc⊥bd；
法一；转为线面垂直作辅助线。
法二：向量法。
石景山17．（本小题满分14分）
如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且。
分别是线段的中点．
ⅱ）求证：平面；
2024年期末理科立体几何集锦。
海淀17．（本小题满分14分）
如图，棱柱abcd—a1b1c1d1的所有棱长都为2，，侧棱aa1与底面abcd的所成角为平面abcd，f为dc1的中点。
（ⅰ）证明：；
西城16．（本小题满分13分）
如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点．
（ⅰ）求证：⊥平面；
东城。17．（本小题共14分）
如图，正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直， ab//cd，ab=ad=2，cd=4，m为ce的中点。
（i）求证：bm//平面adef；
（ii）求证：平面平面bec；
宣武16. （本小题共13分）
如图正三棱柱，,，若为棱中点。
（ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）求与平面所成的角正弦值。
朝阳16．（本小题满分13分）
如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱．
ⅰ）求证：；
ⅱ）求证：平面平面；
昌平。17.（本小题满分13分） 如图所示，直三棱柱abc-a1b1c1中，ca=cb=2,棱，e、m、n分别是cc1、a1b1、aa1的中点。
1）求证：；
2) 求bn的长；
(3) 求二面角平面角的余弦值。
房山16．（本小题共13分）
已知正方形abcd的边长为1，．将正方形abcd沿对角线折起，使，得到三棱锥a—bcd，如图所示．
i）若点m是棱ab的中点，求证：om∥平面acd；
ii）求证：；
iii）求二面角的余弦值．
丰台16.（本小题共14分）
直三棱柱abc -a1b1c1中，ab=5，ac=4，bc=3，aa1=4，点d在ab上．
ⅰ）求证：ac⊥b1c；
ⅱ）若d是ab中点，求证：ac1∥平面b1cd；
ⅲ）当时，求二面角的余弦值．
石景山。17．（本小题满分14分）
已知直四棱柱，四边形为正方形，，为棱的中点．
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）设为中点，为棱上一点，且，求证：∥平面；
ⅲ）在（ⅱ）的条件下求二面角的余弦值．
2024年4月理科立体几何。
海淀理17．（本小题满分14分）
如图，三棱柱中，侧面底面，且，o为中点。
ⅰ）证明：平面；
ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
ⅲ）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置。
西城17．（本小题满分14分）
在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，， 90°,，
（i）求证： 平面；
（ii）求证：平面；
（iii）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°.
东城17．（本小题满分14分）
如图1所示，在边长为12的正方形add1a1中，点b、c**段ad上，且ab=3，bc=4，作bb1//aa1，分别交a1d1，ad1于点b1，p，作cc1//aa1，分别交a1d1，ad1于点c1，q，将该正方形沿bb1，cc1折叠，使得dd1与aa1重合，构成如图2所示的三棱柱abc—a1b1c1。
（i）求证：ab⊥平面bcc1b1；[**：学，科，网]
（ii）求四棱锥a—bcqp的体积；
（iii）求平面pqa与平面bca所成锐二面角的余弦值。
宣武16．（本小题共13分）
如图，在四棱锥p—abcd中，pa⊥平面abcd，底面abcd为直角梯形，∠abc=
bad=90°，为ab中点，f为pc中点。
（i）求证：pe⊥bc；
（ii）求二面角c—pe—a的余弦值；
（iii）若四棱锥p—abcd的体积为4，求af的长。
朝阳17．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱abc—a1b1c1中，每个侧面均为正方形，d为底边ab的中点，e为侧棱cc1的中点。
（1）求证：cd//平面a1eb；
（2）求证：平面a1eb。
（3）求直线与平面aa1c1c所成角的正弦值。
崇文（17）（本小题共14分）
三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点．
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）求二面角的余弦值．
丰台16．（13分）
如图，在底面是正方形的四棱锥p—abcd中，pa⊥面abcd，bd交ac于点e，f是pc中点，g为ac上一点。
（i）求证：bd⊥fg；
（ii）确定点g**段ac上的位置，使fg//平面pbd，并说明理由。
（iii）当二面角b—pc—d的大小为时，求pc与底面abcd所成角的正切值。
石景山17．（本题满分14分）
如图，已知直三棱柱abc—a1b1c1，，e是棱cc1上动点，f是ab中点，（1）求证：；
（2）当e是棱cc1中点时，求证：cf//平面aeb1；
（3）在棱cc1上是否存在点e，使得二面角。
a—eb1—b的大小是45°，若存在，求ce
的长，若不存在，请说明理由。
10年二模立几集锦理科。
海16．(本小题满分14分) **已知四棱锥，底面为矩形，侧棱底面，其中，为侧棱上的两个三等分点，如图所示。
i)求证：平面；
ii)求异面直线与所成角的余弦值；
iii)求二面角的八弦值。
西17．(本小题满分13分) 如图，四棱柱abcd—abcd中，ad平面abcd，底面abcd是边长为1的正方形，侧棱aa=2．
i)求证：cd∥平面abba；
ⅱ)求直线bd与平面acd所成角的正弦值；
ⅲ)求二面角d—ac一a的余弦值．
东17．（本小题满分14分） 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面，△是等边三角形，， 是线段的中点．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求四棱锥的体积；
ⅲ）求与平面所成角的正弦值．
宣16. （本小题共13分）
已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，ⅰ）求这个组合体的表面积；
ⅱ）若组合体的底部几何体记为，其中为正方形。
i）求证：；
ii）设点为棱上一点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围。
朝阳(17)（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角。
形，与的交点为，为侧棱上一点。
ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；
ⅱ）求证：平面平面；
ⅲ）当二面角的大小为时，
试判断点在上的位置，并说明理由。
崇文（16）（本小题共14分）
正方体的棱长为，是与的交点，是上一点，且．
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
丰16．（14分）在正四棱柱中，e,f分别是的中点，g为上任一点，ec与底面abcd所成角的正切值是4.
ⅰ）求证agef；
ⅱ）确定点g的位置，使ag面cef,并说明理由；
ⅲ）求二面角的余弦值。
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