1． 如图，在三棱锥p－abc中，pa⊥平面abc，平面pab⊥平面pbc.
求证：bc⊥ab.
1． 证明在平面pab内，作ad⊥pb于d.
平面pab⊥平面pbc，且平面pab∩平面pbc＝pb.
ad⊥平面pbc.
又bc平面pbc，∴ad⊥bc.
又∵pa⊥平面abc，bc平面abc，∴pa⊥bc，bc⊥平面pab.又ab平面pab，bc⊥ab.
2． 如图，在直三棱柱abc—a1b1c1中，e、f分别是a1b、a1c的中点，点d在b1c1上，a1d⊥b1c1.
求证：(1)ef∥平面abc；
2)平面a1fd⊥平面bb1c1c1.
2．证明 (1)由e、f分别是a1b、a1c的中点知ef∥bc.
因为ef平面abc，bc平面abc.
所以ef∥平面abc.
2)由三棱柱abc—a1b1c1为直三棱柱知cc1⊥平面a1b1c1.
又a1d平面a1b1c1，故cc1⊥a1d.
又因为a1d⊥b1c1，cc1∩b1c1＝c1，故a1d⊥平面bb1c1c，又a1d平面a1fd，所以平面a1fd⊥平面bb1c1c.
3．如图所示，在多面体p—abcd中，平面pad⊥平面abcd，ab∥dc，△pad是等边三角形，已知bd＝2ad＝8，ab＝2dc＝4.
1)设m是pc上的一点，求证：平面mbd⊥平面pad；
2)求四棱锥p—abcd的体积．
3．(1)证明在△abd中，∵ad＝4，bd＝8，ab＝4，∴ad2＋bd2＝ab2.∴ad⊥bd.
又∵面pad⊥面abcd，面pad∩面abcd＝ad，bd面abcd，bd⊥面pad，又bd面bdm，∴面mbd⊥面pad.
2)解过p作po⊥ad，∵面pad⊥面abcd，∴po⊥面abcd，即po为四棱锥p—abcd的高．
又△pad是边长为4的等边三角形，∴po＝2.
在底面四边形abcd中，ab∥dc，ab＝2dc，∴四边形abcd为梯形．
在rt△adb中，斜边ab边上的高为＝，此即为梯形的高．
s四边形abcd＝×＝24.
vp—abcd＝×24×2＝16.
4． 如图所示，在正方体abcd—a1b1c1d1中，m是ab上一点，n是a1c的中点，mn⊥
平面a1dc.
求证：(1)mn∥ad1；
2)m是ab的中点．
4．证明 (1)∵add1a1为正方形，ad1⊥a1d.
又∵cd⊥平面add1a1，∴cd⊥ad1.
a1d∩cd＝d，∴ad1⊥平面a1dc.
又∵mn⊥平面a1dc，mn∥ad1.
2)连接on，在△a1dc中，a1o＝od，a1n＝nc.
on綊cd綊ab，on∥am.又∵mn∥oa，四边形amno为平行四边形，on＝am.
on＝ab，∴am＝ab，m是ab的中点．
5． 如图所示，在四棱锥p—abcd中，底面abcd是矩形，侧棱pa
垂直于底面，e、f分别是ab，pc的中点，pa＝ad.
求证：(1)cd⊥pd；
2)ef⊥平面pcd.
5．证明 (1)∵pa⊥底面abcd，cd⊥pa.
又矩形abcd中，cd⊥ad，且ad∩pa＝a，cd⊥平面pad，∴cd⊥pd.
2)取pd的中点g，连接ag，fg.
又∵g、f分别是pd，pc的中点，gf綊cd，gf綊ae，四边形aefg是平行四边形，ag∥ef.
pa＝ad，g是pd的中点，ag⊥pd，∴ef⊥pd，cd⊥平面pad，ag平面pad.
cd⊥ag.∴ef⊥cd.
pd∩cd＝d，∴ef⊥平面pcd.
6．如图所示，△abc中，∠abc＝90°，sa⊥平面abc，过点a向sc
和sb引垂线，垂足分别是p、q，求证：
1)aq⊥平面sbc；
2)pq⊥sc.
6．证明 (1)∵sa⊥平面abc，bc平面abc，∴sa⊥bc.
又∵bc⊥ab，sa∩ab＝a，bc⊥平面sab.又∵aq平面sab，bc⊥aq.
又∵aq⊥sb，bc∩sb＝b，aq⊥平面sbc.
2)∵aq⊥平面sbc，sc平面sbc，∴aq⊥sc.
又∵ap⊥sc，aq∩ap＝a，sc⊥平面apq.∵pq平面apq，∴pq⊥sc.
7． 如图所示，abcd是平行四边形，点p是平面abcd外一点，m是pc
的中点，在dm上取一点g，过g和ap作平面交平面bdm于gh，求证：ap∥gh.
7．证明如图所示，连接ac交bd于o，连接mo，abcd是平行四边形，o是ac中点，又m是pc的中点，ap∥om.
根据直线和平面平行的判定定理，则有pa∥平面bmd.
平面pahg∩平面bmd＝gh，根据直线和平面平行的性质定理，pa∥gh.
8． 如图所示，三棱锥a—bcd被一平面所截，截面为平行四边形efgh.
求证：cd∥平面efgh.
8．证明 ∵四边形efgh为平行四边形，∴ef∥gh.
又gh平面bcd，ef平面bcd.
ef∥平面bcd.
而平面acd∩平面bcd＝cd，ef平面acd，ef∥cd.
而ef平面efgh，cd平面efgh，cd∥平面efgh.
9．如图，过正方体abcd—a1b1c1d1的棱bb1作一平面交平面cdd1c1于ee1.
求证：bb1∥ee1.
9．证明 ∵bb1∥cc1，bb1平面cdd1c1，cc1平面cdd1c1，bb1∥平面cdd1c1，又bb1平面bee1b1，且平面bee1b1∩平面cdd1c1＝ee1，bb1∥ee1.
10． 如图，在长方体abcd—a1b1c1d1中，e、f、e1、f1分别是ab、cd、a1b1、c1d1的中点．
求证：平面a1efd1∥平面bcf1e1.
10．证明 ∵e、e1分别是ab、a1b1的中点，a1e1∥be且a1e1＝be.
四边形a1ebe1为平行四边形．
a1e∥be1.
a1e平面bcf1e1，be1平面bcf1e1.
a1e∥平面bcf1e1.
同理a1d1∥平面bcf1e1，a1e∩a1d1＝a1，平面a1efd1∥平面bcf1e1.
11． 如图，在三棱柱abc－a1b1c1中，m是a1c1的中点，平面ab1m∥平面bc1n，ac∩平面bc1n＝n.
求证：n为ac的中点．
11．证明 ∵平面ab1m∥平面bc1n，平面acc1a1∩平面ab1m＝am，平面bc1n∩平面acc1a1＝c1n，c1n∥am，又ac∥a1c1，四边形anc1m为平行四边形，an＝c1m＝a1c1＝ac，n为ac的中点．
12．如图，已知在正方体abcd—a1b1c1d1中，m、e、f、n分别是a1b1、b1c1、c1d1、d1a1的中点．
求证：(1)e、f、d、b四点共面；
2)平面amn∥平面efdb.
12．证明 (1)∵e、f是b1c1、c1d1的中点，ef綊b1d1，dd1綊bb1，四边形d1b1bd是矩形，d1b1∥bd.
ef∥bd，即ef、bd确定一个平面，故e、f、d、b四点共面．
2)∵m、n是a1b1、a1d1的中点，mn∥d1b1∥ef.
又mn平面efdb，ef平面efdb.
mn∥平面efdb.
连接ne，则ne綊a1b1綊ab.
四边形neba是平行四边形．
an∥be.又an平面efdb，be平面efdb.
an∥平面befd.
an、mn都在平面amn内，且an∩mn＝n，平面amn∥平面efdb.
立体几何证明
练习3 如图正方形abcd与abef交于ab，m，n分别为ac和bf上的点且am fn求证 mn 平面bec 练习2 已知p为平行四边形abcd所在平面外一点，m为pb中点，求证 pd 平面mac 练习3 已知，如图p是平行四边形abcd外一点同m，n分别是pc，ab的中点。求证 mn 平面pad ...
立体几何证明
空间几何。1 空间几何的结构及其三视图和直观图。1 空间几何体结构。1.几种特殊四棱柱的特殊性质。2.棱柱 棱锥 棱台的基本概念和主要性质。3.圆柱，圆锥，圆台和球 旋转体 1 圆柱 由矩形绕其一边旋转而得。2 圆锥 由直角三角形绕其一条直角边旋转而得。3 圆台 由直角梯形绕其直角腰旋转而得。4 球...
立体几何证明
6 如图，在底面是菱形的四棱锥p abcd，点e是pd的中点，证明 1 平面abcd 2 平面eac.17 本小题满分7分 在正方体abcd a1b1c1d1中，求证 ac 面a1c1b。b1d 面a1c1b。15 如图，pa 平面abc，ab 6，bc 8，ac 10 求证 平面pab 平面pbc...