(2012·江苏)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，a1b1＝a1c1，d、e分别是棱bc、cc1上的点(点d不同于点c)，且ad⊥de，f为b1c1的中点．
求证：(1)平面ade⊥平面bcc1b1；
2)直线a1f∥平面ade.
证明 (1)因为abc a1b1c1是直三棱柱，所以c c1⊥平面abc.
又ad平面abc，所以c c1⊥ad.
又因为ad⊥de，c c1，de平面bc c1 b1，c c1∩de＝e，所以ad⊥平面bc c1 b1.
又ad平面ade，所以平面ade⊥平面bc c1 b1.
2)因为a1 b1＝a1 c1，f为b1 c1的中点，所以a1f⊥b1 c1.
因为c c1⊥平面a1 b1 c1，且a1f平面a1 b1 c1，所以c c1⊥a1f.
又因为c c1，b1 c1平面bc c1 b1，c c1∩b1 c1＝c1，所以a1f⊥平面bc c1 b1.
由(1)知ad⊥平面bc c1 b1，所以a1f∥ad.
又ad平面ade，a1f平面ade，所以a1f∥平面ade
例1】如图，在平行四边形abcd中，cd＝1，∠bcd＝60°，且bd⊥cd，正方形adef所在平面与平面abcd垂直，g、h分别是df、be的中点．
1)求证：bd⊥平面cde；
2)求证：gh∥平面cde；
3)求三棱锥d－cef的体积．
审题导引] (1)先证bd⊥ed，bd⊥cd，可证bd⊥平面cde；
2)由gh∥cd可证gh∥平面cde；
3)变换顶点，求vc－def.
规范解答] (1)证明 ∵四边形adef是正方形，ed⊥ad，又平面adef⊥平面abcd，平面adef∩平面abcd＝ad.
ed⊥平面abcd，∴ed⊥bd.
又bd⊥cd，且ed∩dc＝d，bd⊥平面cde.
2)证明 ∵g是df的中点，又易知h是fc的中点，在△fcd中，gh∥cd，又∵cd平面cde，gh平面cde，gh∥平面cde.
3)设rt△bcd中，bc边上的高为h，cd＝1，∠bcd＝60°，bd⊥cd，bc＝2，bd＝，∴2×h＝×1×，h＝，即点c到平面def的距离是，vd－cef＝vc－def＝××2×2×＝.
例2】如图所示，已知在三棱锥a－bpc中，ap⊥pc，ac⊥bc，m为ab的中点，d为pb的中点，且△pmb为正三角形．
1)求证：dm∥平面apc；
2)求证：平面abc⊥平面apc；
3)若bc＝4，ab＝20，求三棱锥d－bcm的体积．
审题导引] (1)只要证明md∥ap即可，根据三角形中位线定理可证；
2)证明ap⊥bc；
3)根据锥体体积公式进行计算．
规范解答] (1)证明由已知，得md是△abp的中位线，所以md∥ap.
又md平面apc，ap平面apc，故md∥平面apc.
2)证明因为△pmb为正三角形，d为pb的中点，所以md⊥pb.所以ap⊥pb.
又ap⊥pc，pb∩pc＝p，所以ap⊥平面pbc.
因为bc平面pbc，所以ap⊥bc.
又bc⊥ac，ac∩ap＝a，所以bc⊥平面apc.
因为bc平面abc，所以平面abc⊥平面apc.
3)由题意，可知md⊥平面pbc，所以md是三棱锥d－bcm的一条高，所以vm－dbc＝×s△bcd×md＝×2×5＝10.
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