【数学理】2011届高考模拟题（课标）分类汇编： 立体几何。
1、如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱．
ⅰ）求证：；
ⅱ）求证：平面平面；
ⅲ）求二面角的余弦值．
解：（ⅰ设中点为，连结，，…1分。
因为，所以。
又，所以2分。
因为，所以平面。
因为平面，所以。 …4分。
ⅱ）由已知，所以，.
又为正三角形，且，所以6分。
因为，所以。
所以。由（ⅰ）知是二面角的平面角。
所以平面平面8分。
ⅲ）方法1：由（ⅱ）知平面。
过作于，连结，则。
所以是二面角的平面角10分。
在中，易求得。
因为，所以12分。
所以。即二面角的余弦值为。
方法2：由（ⅰ）知，，两两垂直。
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系。
易知，.所以，
设平面的法向量为，则即。
令，则，.所以平面的一个法向量为11分。
易知平面的一个法向量为。
所以12分。
由图可知，二面角为锐角。
所以二面角的余弦值为13分。
2、直三棱柱abc-a1b1c1中，ab=5，ac=4，bc=3，aa1=4，点d在ab上．
ⅰ）求证：ac⊥b1c；
ⅱ）若d是ab中点，求证：ac1∥平面b1cd；
ⅲ）当时，求二面角的余弦值．
证明：（ⅰ在△abc中，因为 ab=5，ac=4，bc=3，所以 ac2+ bc2= ab2， 所以 ac⊥bc
因为直三棱柱abc-a1b1c1，所以 c c1⊥ac
因为 bc∩ac =c，所以 ac⊥平面b b1c1c．
所以 ac⊥b1c5分。
ⅱ）证明：连结bc1，交b1c于e，de．
因为直三棱柱abc-a1b1c1，d是ab中点，所以侧面b b1c1c为矩形，de为△abc1的中位线，所以 de// ac1
因为 de平面b1cd， ac1平面b1cd
所以 ac1∥平面b1cd
ⅲ）解：由（ⅰ）知ac⊥bc，所以如图，以c为原点建立空间直角坐标系c-xyz
则b (3, 0, 0)，a (0, 4, 0)，a1 (0, 0, c)，b1 (3, 0, 4)．
设d (a, b, 0)（，因为点d**段ab上，且， 即．
所以 ，，所以 ，，
平面bcd的法向量为．
设平面b1 cd的法向量为，由 ，，得 ，
所以。设二面角的大小为，所以 ．
所以二面角的余弦值为。
3、如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点。
ⅰ）求证：⊥平面；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）求二面角的余弦值。
ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形，
所以，所以平面，三棱柱是直三棱柱1分。
因为平面，所以2分。
又因为，为中点，所以3分。
因为，所以平面4分。
ⅱ）证明：连结，交于点，连结，因为为正方形，所以为中点，又为中点，所以为中位线，所以6分。
因为平面，平面，
所以平面8分。
(ⅲ)解： 因为侧面，均为正方形， ，所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系。
设，则。设平面的法向量为，则有， ，取，得。
又因为平面，所以平面的法向量为，
因为二面角是钝角，所以，二面角的余弦值为。
4、如图，在四棱锥p-abcd中，pd⊥平面abcd，四边形abcd是菱形，ac=6，bd=8，e是pb上任一点。
ⅰ)求证：ac⊥de；
（ⅱ）当e是pb的中点时，求证：pd∥平面eac；
ⅲ)若面积最小值是6，求pb与平面abcd所成角。
解：(ⅰ平面，平面，∴.
在菱形abcd中，，又∵，∴平面pdb.
又∵平面pdb，∴acde4分。
ⅱ)当e为pb中点时，∵o为bd中点，∴eo∥pd.
pd∥平面aec8分。
ⅲ)∵pd⊥平面abcd，∴∠pbd就是pb与平面abcd所成的角。
由(ⅰ)的证明可知，ac⊥平面pdb，∴ac⊥eo.
ac=6，∴，因其最小值为6，∴eo的最小值为2，此时eo⊥pb，，∴pb与平面abcd成的角12分。
5、如图，直四棱柱中，底面是的菱形，，，点在棱上，点是棱的中点。
ⅰ）若是的中点，求证：；
ⅱ）求出的长度，使得为直二面角。
解：（1）而，所以5分。
2）设，连接，因为就是二面角的平面角，所以，要使只需∽；
所以，从而 ……12
6、如图，在等腰直角中，，，为垂足．沿将对折，连结、，使得．
1）对折后，**段上是否存在点，使？若存在，求出的长；若不存在，说明理由；
2）对折后，求二面角的平面角的正切值．
解：（1）**段上存在点，使。
由等腰直角可知，对折后，，．
在中，过作的垂线，与的交于点，点就是
满足条件的唯一点．理由如下：
连结，平面，即**段上存在点，使。
在中，，，得．
2）对折后，作于，连结，平面，平面平面，且平面平面，平面．
而，所以平面，即为二面角的平面角． …11分。
在中，得，在中，，，得。
在中。即二面角的平面角的正切值等于．
7、如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，都垂直于平面，且，，是线段上一动点．
ⅰ）求证：平面平面；
ⅱ）若平面，试求的值；
ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．
解：法1：（ⅰ连结，平面，平面，∴，又∵，平面，又∵，分别是、的中点，∴，平面，又平面，平面平面；
ⅱ）连结，平面，平面平面，，，故。
ⅲ）∵平面，平面，∴，在等腰三角形中，点为的中点，∴，为所求二面角的平面角。
点是的中点，∴，所以在矩形中，可求得，，，
在中，由余弦定理可求得，二面角的余弦值为。
法2：（ⅰ同法1；
ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则，设点的坐标为，平面的法向量为，则，所以，即，令，则，故，平面，∴，即，解得，故，即点为线段上靠近的四等分点；故8分。
ⅲ），则，设平面的法向量为，则，即，令，则，，即，当是中点时，，则，二面角的余弦值为．--14分。
8、如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点b，且．
1）求棱与bc所成的角的大小；
2)**段上确定一点p，使，并求出二面角的平面角的余弦值．
解析】（1）如图，以a为原点建立空间直角坐标系，则，．
故与棱bc所成的角是6分。
2）设，则．
于是（舍去），则p为棱的中点，其坐标为8分。
设平面的法向量为，则， 即令
故11分。而平面的法向量2=(1,0,0)，则。
故二面角的平面角的余弦值是13分。
9、 如图4，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，,于点．
(1) 求证：；
(2) 求直线与平面所成的角的余弦值。
本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识， 考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1)证明：∵ 平面，平面，∴.平面，平面，平面。
平面。3分， ,平面，平面，∴平面。
平面6分。2）解法1：由（1）知，，又，则是的中点，在rt△中，得，在rt△中，得，
∴.（资料**：数学驿站
设点到平面的距离为，由8分。
得。解得10分。
设直线与平面所成的角为，则12分。
∴ 直线与平面所成的角的余弦值为14分。
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