立体几何竞赛训练题

1：在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问共线的三点组的个数是多少。

解答：两端点都为顶点的共线三点组共有个；两端点都为面的中心共线三点组共。

有个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有个，且没有别的类型的共线三点组，所以总共有个。

2：已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于，求．

解答：如右图所示，平面bcd与正方体的12条棱的夹角都等于，过a作ah垂直平面bcd．连dh，则．设正方体的边长为b，则。

所以．3：在单位正方体abcd-a1b1c1d1的面对角线a1b上存在一点p使得ap+d1p最短，求。

ap+d1p的最小值．

解答：将等腰直角三角形aa1b沿a1b折起至，使三角形与四边形a1bcd1共。

面，联结，则的长即为ap+d1p的最小值，所以，4：已知单位正方体abcd-a1b1c1d1的对棱bb1、d1上有两个动点e、f，be=d1f= （设ef与ab所成的角为，与bc所成的角为，求的最小值．

解答：当时，．不难证明是单调减函数．因此的最小值为．

5.如图，在三棱锥p－abc中，ab⊥bc，ab＝bc＝pa，点o、d分别是ac、pc的中点，op⊥底面abc． (求证∥平面；

(ⅱ)求直线与平面pbc所成角的正弦．

解答。6如图，已知长方体，，直线与平面所成的角为，垂直于为的中点．

（ⅰ）求异面直线与所成的角的余弦；

（ⅱ）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦；

（ⅲ）求点到平面的距离。

解答在长方体中，以所在直线为。

轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直。

角坐标系如图．

由已知，可得．又平面，从面与平面所成的角即为。

又。从而易得。

即异面直线、所成的角为。

（ⅱ）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量．由取∴

即平面与平面所成二面角（锐角）大小为。

（ⅲ）点a到平面bdf的距离，即在平面bdf的法向量上的投影的绝对值。

所以距离。所以点a到平面bdf的距离为。

7. 如图1，已知abcd是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴oo1折成直二面角，如图2 （ⅰ证明：ac⊥bo1；

（ⅱ）求二面角o－ac－o1的余弦．

解答（i）证明由题设知oa⊥oo1，ob⊥oo1．所以∠aob是所折成的直二面角的平面角，即oa⊥ob．故可以o为原点，oa、ob、oo1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是a（3，0，0），b（0，3，0），c（0，1，）o1（0，0，）．

从而。所以ac⊥bo1．

（ii）解：因为所以bo1⊥oc，由（i）ac⊥bo1，所以bo1⊥平面oac，是平面oac的一个法向量．设是0平面o1ac的一个法向量，由得．设二面角o—ac—o1的大小为，由、的方向可知，>，所以cos，>=即二面角o—ac—o1的大小是。

8. 如图，在直三棱柱中，，点为的中点 (ⅰ求证； (求证；

(ⅲ)求异面直线与所成角的余弦值。

解答∵直三棱锥底面三边长

两两垂直如图建立坐标系，则。

c(0,0,0),a(3,0,0),c1(0,0,4),b(0,4,0),b1(0,4,4),d(,2,0)

(ⅰ)设与的交点为e，则e(0,2,2)

(ⅲ)异面直线与所成角的余弦值为。