1.如图，在三棱柱中，侧面，已知。
1）求证：；
2）试在棱(不包含端点、)上确定一点的位置，使得；
3) 在（2）的条件下，求二面角的平面角的正切值。
证明：（1）因为侧面，故。
在中，由余弦定理有
故有 而且平面。
4分。2）由。
从而且故。不妨设 ，则，则。
又则。在中有从而（舍负）
故为的中点时8分。
法二：以为原点为轴，设，则
由得即。化简整理得或
当时与重合不满足题意。
当时为的中点， 故为的中点使8分。
3）取的中点，的中点，的中点，的中点。
连则，连则，连则。
连则，且为矩形，又故为所求二面角的平面角。
在中，12分。
法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角。
因为 故12
2. 在正三棱柱abc－a1b1c1中，底面边长为a，d为bc的中点，m在bb1上，且b1m＝3bm，cm⊥ac1。
1）求证：cm⊥c1d；
2）求b1到平面adc1的距离；
3）求二面角b1－ac1－d的正切值。
解答：（1）证明：∵d为bc的中点，ad⊥bc，又平面b1c⊥平面abc，ad⊥平面b1c，ad⊥cm，又cm⊥ac1，cm⊥平面adc1，∴cm⊥c1d。
2）∵ad⊥平面b1c，平面b1c⊥平面adc1，作b1h⊥c1d于h，则b1h⊥平面adc1。
即线段b1h的长就是b1到平面adc1的距离。
设bb1＝h，则，由cm⊥c1d，得，△dcc1∽△mbc，，即得。。由b1h·c1d＝cc1·b1c1，得。
3）作ho⊥ac1于点o，连结b1o，由三垂线定理得b1o⊥ac1，则∠b1oh为二面角b1－ac1－d的平面角。
由△ohc1∽△adc1求得oh，所以。
3.如图所示，pa垂直矩形abcd所在平面，e、f分别是ab、pd的中点。
1）求证：af//平面pce；
2）若二面角p－cd－为45°，求二面角e－pc－d的大小；
3）在（2）的条件下，若ad＝2，cd＝3，求点f到平面pce的距离。
解：（1）取pc的中点m，连结mf，则mf//cd且，又∵ae//cd且，mf//ae且mf＝ae，四边形aemf为平行四边形，af//em, ∴af//平面pce。
2）∵cd⊥pa，cd⊥ad，cd⊥平面pad，∴∠pda＝45°，pa＝ad，af⊥pd，又∵面pcd⊥面pad，交线为pd，af⊥面pcd，又∵af//em，∴em⊥面pcd，二面角e－pc－d为90°。
3）过f点作fh⊥pc，垂足为h，∵面pec⊥面pcd，且交线为pc，∴fh⊥面pce，∴fh的长就是所求的距离，再由rt△pdc∽rt△phf，可求得。
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