两平面垂直的判定与性质复习。
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湖南祁东育贤中学周友良 421600
衡阳县一中马中平。
基础知识精讲】
一、学习“面面垂直”时，要与学习过的“线线垂直”进行对比．
1）“面面垂直”与“线线垂直”有较多的类比关系见下表：
2）两个平面互相垂直的定义可以直接来判定两个平面垂直，判定的方法是：
找出两个相交平面所成二面角的平面角；
证明这个平面角是直角；
根据定义，这两个平面互相垂直．
利用这个方法可以证明如下的面面垂直判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
简称：线面垂直则面面垂直．
定理说明：①用来判定两个平面互相垂直，直线与平面垂直推出平面与平面垂直；②应用的关键是在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面．
建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上就是依据这个定理．
3）两个平面互相垂直的性质。
如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．简称“面面垂直，则线面垂直”．
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线在第一个平面内．
可作为直线与平面垂直的判定方法．读者可写出它的符号语言表示．
的作用也可判定直线在平面内．
二、面面垂直的判定方法有哪些？其证明的基本思路是什么？
两平面垂直的判定。
定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β
一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个。即若α∥β则β⊥γ
证明面面垂直的基本方法有：（1）用定义：证平面角是直角；（2）用判定定理：线线垂直线面垂直面面垂直．
两个平面垂直的判定定理的证明思路是：欲证两个平面互相垂直，须根据面面垂直的定义，证明相应的二面角的平面角是直二面角，欲证一个二面角是直二面角，必须先画出它的一个平面角，然后证明这个角是直角．
图9-6-9
例1］已知△abc中，o为ac中点，∠abc＝90°，p为△abc所在平面外一点，pa＝pb＝pc．
求证：平面pac⊥平面abc．（如图9-6-9所示）
策略：利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的方法．
解：∵ao＝oc，pa＝pc，∴po⊥ac．
∠abc＝90°，∴ob＝oa．
又pb＝pa，po＝po，∴△pob≌△poa．
po⊥ob，∴po⊥平面abc，∴平面pac⊥平面abc．
评注：证po⊥平面abc是关键．
图9-6-10
例2］已知pa⊥平面abcd，abcd为矩形，pa＝ad，m、n分别是ab、pc的中点，求证：①mn∥平面pad；②平面pmc⊥平面pdc．
证明：（1）如图9-6-10，取pd的中点为q，连结aq、qn，pn＝nc，∴qndc．
四边形abcd为矩形．
qnam．mn∥aq，又∵aq平面pad，∴mn∥平面pad．
2）∵pa⊥平面abcd，∴∠pad＝90°，∴pad为等腰直角三角形．
q为pd中点，∴aq⊥pd．
cd⊥ad，cd⊥pa，∴cd⊥平面pad，∴cd⊥aq，∴aq⊥平面pdc．
由①mn∥aq，∴mn⊥平面pdc，又∵mn平面pmc，平面pmc⊥平面pdc．
评注：mn∥aq，aq⊥面pdc是本题解决的关键．
三、应用两个平面垂直的性质定理应注意哪些问题？
两个平面垂直的性质定理也是直线与平面垂直的判定定理．两个平面互相垂直并不能保证一个平面内的直线必垂直另一平面．只有一个平面内，垂直于它们交线的直线才垂直于另一平面．因此，当两平面垂直时，常添加的辅助线是在一个平面内作两面交线的垂线，或过一个面内一点作另一个面的垂线．性质定理可简化为“面面垂直，则线面垂直．”
例3］已知l，求证：l⊥γ．
证法一：如图9-6-11，在γ内取一点p，作pa垂直于α与γ的交线于a，pb垂直于β与γ的交线于b，则pa⊥α，pb⊥β，l＝α∩l⊥pa，l⊥pb，∵α与β相交，∴pa与pb相交，又paγ，pbγ，∴l⊥γ．
图9-6-11
图9-6-12
证法二：如图9-6-12，在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线m⊥γ，n⊥γ，m∥n，又nβ，∴m∥β，m∥l，∴l⊥γ．
图9-6-13
证法三：如图9-6-13，在l上取一点p，过p作γ的垂线l′
评注：证法。
一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法。
一、证法二的关键．
证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是证法三的关键．
通过比较，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．
范例指导】例4］ 直线a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，a⊥b，求证：α⊥
证明过b上任意一点作直线a′，使a∥a′.∵a⊥b,∴a′⊥b.
设相交直线a′、b确定一个平面，∩βc.∵b⊥β,cβ,∴b⊥c.
在平面内，b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α,c⊥α,cβ，∴
例5］ 在三棱锥s—abc中，∠asb＝∠bsc＝60°，∠asc＝90°，且sa＝sb＝sc，求证：平面asc⊥平面abc.
证明取ac的中点o，连so、bo，由已知，得δsab、δsbc都是正三角形。∴bc＝ab＝a,sa＝sc＝a,又so⊥ac，bo⊥ac，∴∠sob就是二面角s—ac—b的平面角。又∵sa＝ab＝a,sc＝bc＝a,ac＝ac,∴δacs≌δacb.
so＝bo＝a.
在δsob中，∵sb＝a,∴∠sob＝90°.
即平面sac⊥平面abc.
另证：过s作so⊥平面abc，垂足是o.∵sa＝sb＝sc，∴s在平面内的射影是δabc的外心，同前面的证明，可知δabc是直角三角形，∴o在斜边ac上。
又∵平面sac经过so，∴平面sac⊥平面abc
说明证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90°，或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线。
例6］ 已知：平面α∩平面β=直线a．，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．
求证：(ⅰa⊥γ；
ⅱ)b⊥γ．
证明：证法一(ⅰ)设α∩γab，β∩ac．在γ内任取一点p并于γ内作直线pm⊥ab，pn⊥ac．
γ⊥pm⊥α．
而 aα， pm⊥a．
同理pn⊥a
又 pmγ，pnγ， a
ⅱ)于a上任取点q，过b与q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2．
b∥α，b∥a1．
同理b∥a2．
a1，a2同过q且平行于b， a1，a2重合．
又 a1α，a2β， a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a
b∥a1，∴ b∥a．
而a⊥γ，b⊥γ．
注：在第ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．
证法二(ⅰ)在a上任取一点p，过p作直线a
α⊥p∈α，a′α．
同理a可见a′是α，β的交线．
因而a′重合于a
又 a′⊥γa
ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d．
b∥α，b∥β．
b∥c，b∥d．
又 cβ，dβ，可见c与d不重合．因而c∥d．
于是c∥β．
c∥β，cα，αa， c∥a．
b∥c，a∥c，b与a不重合(bα，aα)，b∥a．
而 a⊥γ，b⊥γ．
注：在第ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．
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