专题二：立体几何(第2课时)
一、完美破解立体几何证明题、空间角的计算。
内容精要] 立体几何中的题目最主要的两点就是证明和计算，其中证明主要是来证明空间中的点、线、面间的平行或垂直关系．计算主要是空间角的计算包括异面直线所成的角，线面角以及二面角，在高考中频繁出现，也是高考立体几何题目中的难点所在．掌握好本节内容：首先要理解这些角的概念，其次要弄清这些角的范围，最后才是求解这些角．
例1．如图10，四边形abcd为正方形，pd⊥平面abcd，∠dpc＝30°，af⊥pc于点f，fe∥cd，交pd于点e.
1)证明：cf⊥平面adf；
2)求二面角d af e的余弦值．
例2． 如图11所示，四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等，ac∩bd＝o，a1c1∩b1d1＝o1，四边形acc1a1和四边形bdd1b1均为矩形．
1)证明：o1o⊥底面abcd；
2)若∠cba＝60°，求二面角c1ob1d的余弦值．
例3．如图12所示，△abc和△bcd所在平面互相垂直，且ab＝bc＝bd＝2，∠abc＝∠dbc＝120°，e，f分别为ac，dc的中点．
1)求证：ef⊥bc；
2)求二面角ebfc的正弦值．
例4．如图13，三棱柱abc a1b1c1中，侧面bb1c1c为菱形，ab⊥b1c.
1)证明：ac＝ab1；
2)若ac⊥ab1，∠cbb1＝60°，ab＝bc，求二面角a a1b1 c1的余弦值．
例5．如图14，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e，f，m，n分别是棱ab，ad，a1b1，a1d1的中点，点p，q分别在棱dd1，bb1上移动，且dp＝bq＝λ(0<λ<2)．
1)当λ＝1时，证明：直线bc1∥平面efpq.
2)是否存在λ，使面efpq与面pqmn所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
例6．如图15，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa⊥平面abcd，e为pd的中点．
1)证明：pb∥平面aec；
2)设二面角daec为60°，ap＝1，ad＝，求三棱锥eacd的体积．
例7．四面体abcd及其三视图如图16所示，过棱ab的中点e作平行于ad，bc的平面分别交四面体的棱bd，dc，ca于点f，g，h.
1)证明：四边形efgh是矩形；
2)求直线ab与平面efgh夹角θ的正弦值．
例8．三棱锥a bcd及其侧视图、俯视图如图17所示．设m，n分别为线段ad，ab的中点，p为线段bc上的点，且mn⊥np.
1)证明：p是线段bc的中点；
2)求二面角a np m的余弦值．
例9．[如图18所示，在四棱锥p abcd中，pa⊥底面abcd, ad⊥ab，ab∥dc，ad＝dc＝ap＝2，ab＝1，点e为棱pc的中点．
1)证明：be⊥dc；
2)求直线be与平面pbd所成角的正弦值；
3)若f为棱pc上一点，满足bf⊥ac，求二面角f ab p的余弦值．
例10．如图19所示，四棱锥pabcd中，底面是以o为中心的菱形，po⊥底面abcd，ab＝2，∠bad＝，m为bc上一点，且bm＝，mp⊥ap.
1)求po的长；
2)求二面角apmc的正弦值．
例11．如图20，在四棱锥a bcde中，平面abc⊥平面bcde，∠cde＝∠bed＝90°，ab＝cd＝2，de＝be＝1，ac＝.
1)证明：de⊥平面acd；
2)求二面角b ad e的大小．
立体几何 2
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2立体几何
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