1．【05广东】 如图1所示，在四面体p—abc中，已知pa=bc=6，pc=ab=10，ac=8，pb=.f是线段pb上一点，，点e**段ab上，且ef⊥pb.
（ⅰ）证明：pb⊥平面cef；
（ⅱ）求二面角b—ce—f的大小。
解]（i）证明：
△pac是以∠pac为直角的直角三角形，同理可证。
pab是以∠pab为直角的直角三角形，△pcb是以∠pcb为直角的直角三角形。
故pa⊥平面abc又∵而。
故cf⊥pb,又已知ef⊥pb
pb⊥平面cef
ii）由（i）知pb⊥ce, pa⊥平面abc
ab是pb在平面abc上的射影，故ab⊥ce
在平面pab内，过f作ff1垂直ab交ab于f1，则ff1⊥平面abc，ef1是ef在平面abc上的射影，∴ef⊥ec
故∠feb是二面角b—ce—f的平面角。
二面角b—ce—f的大小为。
2．【05江苏】
如图，在五棱锥s—abcde中，sa⊥底面abcde，sa=ab=ae=2，，
求异面直线cd与sb所成的角（用反三角函数值表示）；
证明：bc⊥平面sab；
用反三角函数值表示二面角b—sc—d的大小（本小问不必写出解答过程）
解]（ⅰ连结be，延长bc、ed交于点f，则∠dcf=∠cdf=600，△cdf为正三角形，∴cf=df
又bc=de，∴bf=ef因此，△bfe为正三角形，∠fbe=∠fcd=600，∴be//cd
所以∠sbe（或其补角）就是异面直线cd与sb所成的角。
sa⊥底面abcde，sa=ab=ae=2，sb=，同理se=，又∠bae=1200，所以be=，从而，cos∠sbe=，∠sbe=arccos
所以异面直线cd与sb所成的角是arccos
ⅱ) 由题意，△abe为等腰三角形，∠bae=1200，∠abe=300，又∠fbe =600abc=900，∴bc⊥ba
sa⊥底面abcde，bc底面abcde，sa⊥bc，又saba=a， ∴bc⊥平面sab
ⅲ）二面角b-sc-d的大小。
3．【05辽宁】 已知三棱锥p—abc中，e、f分别是ac、ab的中点，△abc，△pef
都是正三角形，pf⊥ab.
（ⅰ）证明pc⊥平面pab；
（ⅱ）求二面角p—ab—c的平面角的余弦值；
（ⅲ）若点p、a、b、c在一个表面积为12π的。
球面上，求△abc的边长。
解] 本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法。
ⅰ）证明： 连结cf.
（ⅱ）解法一：
为所求二面角的平面角。 设ab=a，则ab=a，则。
解法二：设p在平面abc内的射影为o.≌≌
得pa=pb=pc. 于是o是△abc的中心。为所求二面角的平面角。
设ab=a，则
ⅲ）解法一：设pa=x，球半径为r.
的边长为。
解法二：延长po交球面于d，那么pd是球的直径。
连结oa、ad，可知△pad为直角三角形。 设ab=x，球半径为r.
4. 【05上海·春招】 已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为。
（1）证明：；
（2）求底面中心到侧面的距离。
[证明]（1）取边的中点，连接、，则，，故平面。
（2）如图， 由（1）可知平面平面，则是侧面与底面所成二面角的平面角。
过点作为垂足，则就是点到侧面的距离。
设为，由题意可知点在上，，.
即底面中心到侧面的距离为3.
5．【05北京·理】如图，在直四棱柱中，，垂足为。
ⅰ)求证；ⅱ)求二面角的大小；
ⅲ)求异面直线与所成角的大小。
[解] （i）在直四棱柱abcd－ab1c1d1中，aa1⊥底面abcd．∴ ac是a1c在平面abcd上的射影．
∵bd⊥ac．∴ bd⊥a1c；
）连结a1e，c1e，a1 c1．
与（）同理可证bd⊥a1e，bd⊥c1e， ∠a1ec1为二面角a1－bd－c1的平面角．
∵ ad⊥dc， ∠a1d1c1=∠adc＝90°，又a1d1=ad＝2，d1c1= dc＝2，aa1=且 ac⊥bd， a1c1＝4，ae＝1，ec＝3， a1e＝2，c1e＝2，在△a1ec1中，a1c12＝a1e2＋c1e2， ∴a1ec1＝90°，即二面角a1－bd－c1的大小为90°．
）过b作 bf//ad交 ac于 f，连结fc1，则∠c1bf就是ad与bc1所成的角．
ab＝ad＝2， bd⊥ac，ae＝1，
bf=2，ef＝1，fc＝2，bc＝dcfc1=，bc1＝，在△bfc1 中c1bf=
即异面直线ad与bc1所成角的大小为．
解法二：ⅰ）同解法一。
ⅱ）如图，以d为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系连结。
与(1)同理可证， ,
为二面角的平面角。由。得。
即。二面角的大小为。
ⅲ）如图，由，得。
异面直线与所成角的大小为。
解法三：ⅰ）同解法一。
ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为e.连结。
与（ⅰ）同理可证。
为二面角的平面角。由。得。
即。二面角的大小为。
6．【05北京·文】
如图， 在直三棱柱中， ，点为的中点。
(ⅰ)求证；
ⅱ) 求证；
ⅲ)求异面直线与所成角的余弦值。
[解]（）直三棱柱abc－a1b1c1，底面三边长ac=3，bc=4，ab=5， ac⊥bc，且bc1在平面abc内的射影为bc，∴ ac⊥bc1；
）设cb1与c1b的交点为e，连结de， d是ab的中点，e是bc1的中点de//ac1， de平面cdb1，ac1平面cdb1， ∴ac1//平面cdb1；
）∵ de//ac1ced为ac1与b1c所成的角，在△ced中，ed=ac 1=，cd=ab=，ce=cb1=2， 异面直线 ac1与 b1c所成角的余弦值。
解法二： 直三棱锥底面三边长，两两垂直。
如图建立坐标系，则c(0,0,0),a(3,0,0),c1(0,0,4),b(0,4,0),b1(0,4,4),d(,2,0)
ⅱ)设与的交点为e，则e(0,2,2)
∴异面直线与所成角的余弦值为。
立体几何大题专练 经典
1 2015江苏高考，16 如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为，求证 试题解析 1 由题意知，为的中点，又为的中点，因此 又因为平面，平面，所以平面 2 因为棱柱是直三棱柱，所以平面 2 2016高考天津理数 本小题满分13分 如图，正方形abcd的中心为o，四边形obef为矩形，平面obef 平...
立体几何大题
1 如图，已知正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为，点e在侧棱上，点f在侧棱上，且，i 求证 ii 求二面角的大小。2 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，已知。证明 若为的中点，求三菱锥的体积。3 如图，四棱锥p abcd中，abc bad 90 bc 2ad，pab与 pad都是边长为2的等边三角...
立体几何大题
1 如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点 段上，平面 1 证明 平面 2 若，求二面角的正切值 2 如图5，在四棱锥p abcd中，pa 平面abcd，ab 4，bc 3，ad 5，dab abc 90 e是cd的中点。证明 cd 平面pae 若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abc...