空间向量法解立体几何问题。
一、立体几何问题的类型。
1、判断直线、平面间的位置关系；
(1)直线与直线的位置关系；
(2)直线与平面的位置关系；
(3)平面与平面的位置关系；
2、求解空间中的角度；
3、求解空间中的距离。（略讲）
利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展。主要变化是维数增加了，讨论的对象由二维图形变为三维图形。
为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来。
二、直线的方向向量与法向量。
1、直线的方向向量。
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量。如图，在空间直角坐标系中，由与确定的直线的方向向量是：
2、平面的法向量。
如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面，称这个向量垂直于平面，记作，这时向量叫做平面的法向量。
三、利用空间向量决定点、直线和平面在空间中的位置。
1、如何确定一个点在空间的位置？
2、如何确定一条直线在空间的位置？
3、如何确定一个平面在空间的位置？
因为直线方向向量与法向量可以确定直线和平面向量，所以我们可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系。
四、五个重要公式。
1、向量的坐标表示：
设，，则。2、向量的模的计算公式：
设，则。3、两个向量的数量积：
4、两个向量的数量积的坐标表示：
设，，则。5、两个向量的夹角公式：
设与的夹角为，则也可以表示为。
五、知识点。
设直线的方向向量为分别为，平面的法向量分别为。
1、平行关系。
1）线线平行
（2）线面平行
3）面面垂直
2、垂直关系。
1）线线垂直
2）线面垂直
3）面面垂直
练习巩固：1、设分别是直线的方向向量，根据下列条件判断直线的位置关系。
2、设分别是平面的法向量，根据下列条件判断平面的位置关系。
3、例题讲解（如何求一个平面的法向量）
例1、已知，，，求平面的一个法向量。
解：设平面的一个法向量，依题意得：
令，得。所以，平面的一个法向量为。
求平面的法向量的坐标的步骤：
第一步(设):设出平面法向量的坐标为。
第二步(列):根据且可列出方程组。
第三步(解):把看作常数，用表示、.
第四步(取):取为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量的坐标。
例2、在棱长为2的正方体中，是面的中心，求面的法向量。
解：以为原点建立空间直角坐标系（如图）,
设平面的法向量的法向量为，则，，
由， 因为得，解得。
令，得。所以面的一个法向量为。
六、立体几何问题的类型及解法。
1、判定直线、平面间的位置关系。
1)直线与直线的位置关系。
不重合的两条直线的方向向量分别为。
①若，即，则。
②若，即，则。
2、直线与平面的位置关系。
直线的方向向量为，平面的法向量为，且。
若，即，则。
若，即，则。
例3、棱长都等于2的正三棱柱， ,分别是，的中点，求证：
1）⊥平面。
2）平面。解：以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系。则，
设平面的法向量为，则。
即解之得。取得。
1）,从而⊥平面；
2）,而，所以平面。
3、平面与平面的位置关系。
平面的法向量为，平面的法向量为。
若即，则。若即，则。
例4、正方体中，、分别是、的中点，求证：.
证明：以为原点建立如图所示的的直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
于是 设平面的法向量为得。
即解之得 取得。
同理可得平面的法向量为。
面⊥面。4、 求空间中的角。
1）两异面直线的夹角。
利用向量法求两条异面直线所成的夹角，不用平移这两条异面直线，可先求出两条异面直线的方向向量，则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补，我们仅取锐角或直角就行了。
例5、如图在正方体中，是的中点，则对角线与所成角的余弦值为___
解： 以为原点建立如图所示的直角坐标系， 设正方体的棱长为2,则。
1,0, 0), 2,2,0), 2, 0, 2), 0,2 ,0),于是，
2）直线与与平面所成的角。
若是平面的法向量，是直线的方向向量，则与所成的角，则或 (下图) .
于是， ，因此。
例6、正三棱柱的底面边长为，高为，求与侧面所成的角。
解：建立如图示的直角坐标系，则。
设面的法向量为。
由得 即，解得 ，取，得而。
3）二面角。
设、分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角的大小与法向量、夹角相等（选取法向量竖坐标同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦。
例7、在四棱锥中，侧棱底面，，，求二面角的余弦值。
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
设平面的法向量，则由。
得，解得，令=2得
而面的法向量。
于是二面角的大小满足。
二面角的余弦值为。
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