一．空间直线。
高考要求 1能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想像它们的位置关系。
2会用几何法计算两异面直线的夹角和距离。
题型讲解 例1：a是△bcd平面外的一点，e、f分别是bc、ad的中点，
1）求证：直线ef与bd是异面直线；
2）若ac⊥bd，ac=bd，求ef与bd所成的角。
点评： ①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”注意，异面直线所成角的范围是（0，］
学生练习 1如下图，正四面体s—abc中，d为sc的中点，则bd与sa所成角的余弦值是___
2两条相交直线l、m都在平面α内且都不在平面β内命题甲：l和m中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的。
a充分不必要条件b必要不充分条件 c充要条件d非充分非必要条件。
3在棱长为2的正方体abcd—a1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，e、f分别是cc1、ad的中点，那么异面直线oe和fd1所成的角的余弦值等于___
4四面体abcd中，e、f分别是ac、bd的中点，若cd=2ab=2，ef⊥ab，则ef与cd所成的角等于。
二．直线与平面平行和平面与平面平行。
高考要求 1掌握空间直线和平面的位置关系；2掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化 3掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义；4掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化。
题型讲解 例1 如下图，两个全等的正方形abcd和abef所在平面相交于ab，m∈ac，n∈fb且am=fn，求证：mn∥平面bce
点评：证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行
例2 如下图，正方体abcd—a1b1c1d1中，侧面对角线ab1、bc1上分别有两点e、f，且b1e=c1f求证：ef∥平面abcd
点评：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行。
例3 如下图，设a、b是异面直线，ab是a、b的公垂线，过ab的中点o作平面α与a、b分别平行，m、n分别是a、b上的任意两点，mn与α交于点p，求证：p是mn的中点。
点评：本题重点考查直线与平面平行的性质。
例4 在棱长为a的正方体abcd-a1b1c1d1中，e，f，g，m，n，q分别是棱a1a，a1b1，a1d1，cb，cc1，cd的中点，求证：平面efg∥平面mnq
小结：1证明两直线平行的常用的方法有（1）定义法，即证两线共面且无公共点（2）证明两直线都与第三条直线平行（3）同一法，即先过一直线上的一点作另一条直线的平行线，然后证明所作直线与第一条直线重合（4）应用两平面平行的性质定理，设法使两直线成为两平行平面与第三个平面的交线。
2证明直线与平面平行的常用方法有：（1）根据定义，用反证法证明（2）证明直线在平面外且与平面内的某一条直线平行（3）证明直线在与已知平面平行的平面内。
3证明两平面平行的常用方法有：（1）根据定义用反证法证明（2）证明一平面内的两相交直线与另一平面平行（或与另一平面内的两条相交直线平行）
学生练习 1设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是。
aα⊥β且m⊥β bα∩βn且m∥n cm∥n且ndα∥β且mβ
答案：d2设m、n是两条不同的直线，α、是三个不同的平面给出下列四个命题，其中正确命题的序号是。
若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥βm⊥α，则m⊥γ
若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ则α∥β
abcd①④
解析：①②显然正确③中m与n可能相交或异面④考虑长方体的顶点，α与β可以相交。
答案：a3一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是。
a异面b相交。
c平行d不能确定。
解析：设α∩βl，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γb，β∩c，则a∥b且a∥c，b∥c
又bα，αl，∴b∥l∴a∥l
答案：c4两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面α的关系是。
aa∥α ba与α相交 ca与α不相交 daα
答案：c5a、b是两条异面直线，a是不在a、b上的点，则下列结论成立的是。
a过a有且只有一个平面平行于a、b
b过a至少有一个平面平行于a、b
c过a有无数个平面平行于a、b
d过a且平行a、b的平面可能不存在。
解析：过点a可作直线a′∥a，b′∥b，则a′∩b′=a
a′、b′可确定一个平面，记为α
如果aα，bα，则a∥α，b∥α
由于平面α可能过直线a、b之一，因此，过a且平行于a、b的平面可能不存在。
答案：d6设平面α∥平面β，a、c∈α，b、d∈β，直线ab与cd交于点s，且as=8，bs=9，cd=34，①当s在α、β之间时，sc当s不在α、β之间时，sc
解析：∵ac∥bd，∴△sac∽△sbd，①sc=16，②sc=272
答案：①16 ②272
7设d是线段bc上的点，bc∥平面α，从平面α外一定点a（a与bc分居平面两侧）作ab、ad、ac分别交平面α于e、f、g三点，bc=a，ad=b，df=c，则eg
解析：解法类同于上题。
答案： 8已知rt△abc的直角顶点c在平面α内，斜边ab∥α，ab=2，ac、bc分别和平面α成45°和30°角，则ab到平面α的距离为___
解：分别过a、b向平面α引垂线aa′、bb′，垂足分别为a′、b′
设aa′=bb′=x，则ac2=（）2=2x2，bc2=（）2=4x2
又ac2+bc2=ab2，∴6x2=（2）2，x=2
答案：29在四面体abcd中，m、n分别是面△acd、△bcd的重心，则四面体的四个面中与mn平行的是___
解析：连结am并延长，交cd于e，连结bn并延长交cd于f，由重心性质可知，e、f重合为一点，且该点为cd的中点e，由==得mn∥ab，因此，mn∥平面abc且mn∥平面abd
答案：平面abc、平面abd
10已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点。
在上面结论中，正确结论的编号是___写出所有正确结论的编号）
解析：a1d与bc1在平面abcd上的射影互相平行；
ab1与bc1在平面abcd上的射影互相垂直；
dd1与bc1在平面abcd上的射影是一条直线及其外一点。
答案：①②11如下图，四棱锥p—abcd的底面是边长为a的正方形，侧棱pa⊥底面abcd，侧面pbc内有be⊥pc于e，且be= a，试在ab上找一点f，使ef∥平面pad
解：在面pcd内作eg⊥pd于g，连结ag
pa⊥平面abcd，cd⊥ad，cd⊥pd∴cd∥eg
又ab∥cd，∴eg∥ab
若有ef∥平面pad，则ef∥ag，四边形afeg为平行四边形，得eg=af
ce==a，△pbc为直角三角形，bc2=ce·cpcp=a， =
故得af∶fb=2∶1时，ef∥平面pad
12如下图，设p为长方形abcd所在平面外一点，m、n分别为ab、pd上的点，且=，求证：直线mn∥平面pbc
分析：要证直线mn∥平面pbc，只需证明mn∥平面pbc内的一条直线或mn所在的某个平面∥平面pbc
证法一：过n作nr∥dc交pc于点r，连结rb，依题意得。
nr=mbnr∥dc∥ab，四边形mnrb是平行四边形∴mn∥rb
又∵rb平面pbc，∴直线mn∥平面pbc
证法二：过n作nq∥ad交pa于点q，连结qm，==qm∥pb又nq∥ad∥bc，平面mqn∥平面pbc∴直线mn∥平面pbc
证法三：过n作nr∥dc交pc于点r，连结rb，依题意有==，mn∥rb又∵rb平面pbc，直线mn∥平面pbc
13在空间直角坐标系中，已知a（0，0，0） b（a,b,0), c(a,0,c), e(0,b,0)
f(a,b,c), g(0,0,c),求证：平面abc∥平面efg
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