高二年级第一学期学情调查（一）
数学试卷。本试卷满分：160分考试时间：120分钟。
一、填空题： (每小题5分，共70分)
1. 直线不在平面内用符号表示)
2、若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积之比为 。
3、如图所示的直观图，则其平面图形的面积为。
4．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则到底面的距离为
5. 如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，m、n分别为棱bc和棱cc1的中点，则直线ac和mn所成的角的度数是 。
6. 如图，在边长为a的正方体abcd-a1b1c1d1中，e是棱ab上一点，m是棱d1c1上一点，则三棱锥m-dec的体积是 。
7．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是
若，则 ②若，则
若，则 ④若，则
8. 圆台上、下底面面积分别为、, 侧面积是， 这个圆台的高为。
9. 半径为r的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为。
10．已知是直线，是平面，下列命题中，正确的命题是 。（填序号）
①若垂直于内两条直线，则；
②若平行于，则内可有无数条直线与平行；
③若，则；
④若m⊥n，n⊥l则m∥l；
⑤若，则；
11. 棱长为的正方体的外接球的表面积是___
12. 正四棱锥的底面边长为，它的侧棱与底面所成角为，则正四棱锥的体积为。
13.在正方体abcd-a1b1c1d1中，则二面角d1-ab-d的大小为。
14、已知不在平面内，若a、b、c三点到平面的距离相等，则平面abc与平面的位置关系是。
二、解答题：(14+14+14+16+16+16,共90分)
15．在四面体中，，且分别是的中点。
求证：（1）直线ef ∥面acd ；（2）面efc⊥面bcd ．
16.如图，已知四边形abcd 是矩形，pa⊥平面abcd，m, n分别是ab, pc的中点。
(1)求证：mn∥平面pad；
(2)求证：mn⊥dc；
17. 如图所示，四棱锥p－abcd的底面abcd是正方形，pa⊥底面abcd，且pa＝ab, e是pa的中点。
（ⅰ）判断直线pc与平面bde的位置关系，并加以证明；
（ⅱ）求二面角e－bd－a的大小。
18．三棱锥中，分别是的中点．
1）求证：四边形是平行四边形；
2）若，求证：四边形是菱形；
3）当与满足什么条件时，四边形是正方形．
19. 如图， 于
求证：(1) (2)
3) ,求三棱锥的全面积。
20. 如图所示，在棱长为2的正方体abcd－a1b1c1d1中，e、f分别为dd1、db的中点。
ⅰ）求证：ef⊥b1c；
ⅱ）求三棱锥b1－efc的体积。
高二第一学期学情调查（一）
数学试卷。本试卷满分：160分考试时间：120分钟。
一、填空题： (每小题5分，共70分)
4．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则到底面的距离为
5如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，m、n分别为棱bc和棱cc1的中点，则直线ac和mn所成的角的度数是 。
6如图，在边长为a的正方体abcd-a1b1c1d1中，e是棱ab上一点，m是棱d1c1上一点，则三棱锥m-dec的体积是 。
7．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是 ③
若，则 ②若，则
若，则 ④若，则
8. 圆台上、下底面面积分别为、, 侧面积是， 这个圆台的高为。
9. 半径为r的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为。
10．已知是直线，是平面，下列命题中，正确的命题是 ② 填序号）
11. _312. _13. 14平行或相交。
二、解答题：(14+14+14+16+16+16,共90分)
15．在四面体中，，且分别是的中点。
求证：（1）直线ef ∥面acd ；（2）面efc⊥面bcd ．
ⅰ）∵e,f 分别是ab,bd 的中点，ef 是△abd 的中位线，∴ef∥ad，ef面acd ，ad 面acd ，∴直线ef∥面acd ．
ⅱ）∵ad⊥bd ，ef∥ad，∴ ef⊥bd.
cb=cd, f 是bd的中点，∴cf⊥bd.
又efcf=f，∴bd⊥面efc．∵bd面bcd，∴面efc⊥面bcd ．
16.(本小题满分15分)
如图，已知四边形abcd 是矩形，pa⊥平面abcd，m, n分别是ab, pc的中点。
(1)求证：mn∥平面pad；
(2)求证：mn⊥dc；
1）设pd的中点为e，连ae, ne，则易得四边形amne是平行四边形。
则 mn∥ae
所以 mn∥平面pad8分。
（2）∵pa⊥平面abcd ， cd
pa⊥cd
又ad⊥cd , pa∩da=a
cd平面pad
cd⊥ae ∵mn∥ae ∴mn⊥dc………15分。
17. 如图所示，四棱锥p－abcd的底面abcd是正方形，pa⊥底面abcd，且pa＝ab, e是pa的中点。
（ⅰ）判断直线pc与平面bde的位置关系，并加以证明；
（ⅱ）求二面角e－bd－a的大小。
解：（ⅰ直线pc∥平面ebd
证明：连结acbd＝o，连结eo
四边形abcd是正方形，∴o是ac的中点。
e是pa的中点，∴eo∥pc
pc平面ebd， eo平面ebd， ∴pc∥平面ebd
（ⅱ）pa⊥平面abcd ∴pa⊥bd
bd⊥ac， paac＝a， ∴bd⊥平面pac
bd⊥ao， bd⊥eo， ∴eoa是二面角e－bd－c的平面角。
设ab＝1则pa＝, ea＝＝ao
在rt△eao中， ∴eoa＝45°
∴二面角e－bd－c为45°.
18．三棱锥中，分别是的中点．
1）求证：四边形是平行四边形；
2）若，求证：四边形是菱形；
3）当与满足什么条件时，四边形是正方形．
证明：(1)
2)由，，ｂ在平面ｐｂｃ中交于ｃ又。
20.（ⅰ证明一： 连结bd1, bc1
e、f分别为dd1、bd的中点 ∴ef∥bd1
正方体abcd－a1b1c1d1
d1c1⊥平面bcc1b1 ∴d1c1⊥b1c
正方形bcc1b1 ∴b1c⊥bc1
d1c1 bc1＝c1 ∴b1c⊥平面bc1d1 ∴b1c⊥bd1
ef∥bd1 ∴ef⊥b1c
证明二：∵ rt△edf∽rt△fbb1
def＝∠bfb1 ∴∠bfb1＋∠dfe＝∠def＋∠dfe＝90° ∴efb1＝90°
ef⊥fb1 又∵cf⊥平面bdd1b ∴cf⊥ef
b1fcf＝f ∴ef⊥平面b1fc ∴ef⊥b1c
ⅱ）∵cb＝cd，bf＝df ∴cf⊥bd ∵dd1⊥平面abcd ∴dd1⊥cf
又dd1bd＝d ∴cf⊥平面bdd1b1 又cf＝
方法一： △b1ef的面积＝
方法二： ∵ef⊥平面b1fc ∴ ef⊥fb1
ef＝, fb1＝
rt△b1ef的面积＝
∴三棱锥b1－efc的体积为1.
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