2024年12月汪浩的高中数学组卷。
一．填空题（共30小题）
1．椭圆的两个焦点为f1、f2，短轴的一个端点为a，且三角形f1af2是顶角为120°的等腰三角形形，则此椭圆的离心率为。
2．如图，边长为a的正△abc的中线af与中位线de相交于g，已知△a′ed是△aed绕de旋转过程中的一个图形，现给出下列命题：①动点a′在平面abc上的射影**段af上；②三棱锥a′﹣fed的体积有最大值；③恒有平面a′gf⊥平面bced；
异面直线a′e与bd不可能互相垂直；⑤异面直线fe与a′d所成角的取值范围是．其中正确命题的序号是将正确命题的序号都填上）
3．设定义域为[x1，x2]的函数y=f（x）的图象为c，图象的两个端点分别为a、b，点o为坐标原点，点m是c上任意一点，向量=（x1，y1），=x2，y2），=x，y），满足x=λx1+（1﹣λ）x2（0＜λ＜1），又有向量=λ+1﹣λ）现定义“函数y=f（x）在[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指||≤k恒成立，其中k＞0，k为常数．根据上面的表述，给出下列结论：
a、b、n三点共线；
直线mn的方向向量可以为=（0，1）；
“函数y=5x2在[0，1]上可在标准1下线性近似”；
“函数y=5x2在[0，1]上可在标准下线性近似”．
其中所有正确结论的番号为。
4．已知四面体abcd中，da=db=dc=3，且da，db，dc两两互相垂直，点o是△abc的中心，将△dao绕直线do旋转一周，则在旋转过程中，直线da与直线bc所成角的余弦值的取值范围是。
5．（理）已知圆柱的体积是，点o是圆柱的下底面圆心，底面半径为1，点a是圆柱的上底面圆周上一点，则直线oa与该圆柱的底面所成的角的大小是结果用反三角函数值表示）．
6．如图，，现将△adc沿dc边折起，使二面角a﹣dc﹣b的大小为60°，此时直线ab与平面bcd所成角的正弦值为。
7．如图，平面α⊥平面β，αl，daα，bcα，且da⊥l于a，bc⊥l于b，ad=4，bc=8，ab=6，点p是平面β内不在l上的一动点，记pd与平面β所成角为θ1，pc与平面β所成角为θ2．若θ1=θ2，则△pab的面积的最大值是。
8．如图，α⊥l，a∈α，b∈β，a、b到l的距离分别是a和b，ab与α、β所成的角分别是θ和φ，ab在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则θ与φ的大小关系为m与n的大小关系为。
9．如图，矩形abcd中，ab=2，bc=4，将△abd沿对角线bd折起到a'bd，使点a'在平面bcd内的射影点o恰好落在bc边上，则异面直线a′b与cd所成角的大小为a'd与平面a'bc所成的角的大小为。
10．如图：点p在正方形abcd﹣a1b1c1d1的面对角线bc1上运动，则下列四个命题：
c1b与平面abcd所成的角为45°；
三棱锥a﹣d1pc的体积不变；
a1p∥面acd1；
dp⊥bc1．
其中正确的命题的序号是。
11．已知单位正方体abcd﹣a1b1c1d1对棱bb1，dd1上有两个动点e、f，be=d1f，设ef与面ab1所成角为α，与面bc1所成角为β，则α+β的最大值为。
12．如图，在矩形abcd中，ab=4，bc=3，e为dc边的中点，沿ae将△ade折起，使二面角d﹣ae﹣b为60°，则直线ad与面abce所成角的正弦值为。
13．已知双曲线的实轴a1a2，虚轴为b1b2，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点f2折至点f，若点f在平面a1b1b2内的射影恰好是该双曲线左顶点a1，则直线b1f与平面a1b1b2所成角的正切值为。
14．如图，α﹣l﹣β为60°的二面角，等腰直角三角形mpn的直角顶点p在l上，m∈α，n∈β，且mp和np与l所成的角相等，则mn与β所成角为。
15．在120°的二面角内放置一个小球，它与二面角的两个面相切于m、n两点，这两个点的距离ab=5，则小球的半径为。
16．如图，在直棱柱abc﹣a1b1c1中，ac=bc=4，∠acb=90°，aa1=2，e、f分别是ac、ab的中点，过直线ef作棱柱的截面，若截面与平面abc所成的二面角的大小为60°，则截面的面积为。
17．如图，等腰梯形abcd中，e，f分别是bc上三等分点，ad=ae=1，bc=3，若把三角形abe和dcf分别沿ae和df折起，使得b、c两点重合于一点p，则二面角p﹣ad﹣e的大小为。
18．如图，直三棱柱oab﹣o1a1b1中，∠aob=90°，m是侧棱bb1上一点，向量是平面oa1m的一个法向量，则平面oab与平面oa1m所成二面角的锐角为结果用反三角函数值表示）．
19．如图，正方体abcd﹣a1b1c1d1的棱长为2，e，f分别为棱bc，dd1上的点，给出下列命题：
在平面abf内总存在与直线b1e平行的直线；
若b1e⊥平面abf，则ce与df的长度之和为2；
存在点f使二面角b1﹣ac﹣f的大小为45°；
记a1a与平面abf所成的角为α，bc与平面abf所成的角为β，则α+β的大小与点f的位置无关．
其中真命题的序号是写出所有真命题的序号）
20．已知α﹣l﹣β是大小为45°的二面角，c为二面角内一定点，且到平面α和β的距离分别为和6，a，b分别是半平面α，β内的动点，则△abc周长的最小值为。
21．已知三棱锥 s﹣abc 的底面是正三角形，a 点在侧面 sbc 上的射影 h 是△sbc 的垂心，二面角 h﹣ab﹣c 的平面角等于30°，sa=2．那么三棱锥 s﹣abc 的体积为。
22．如图，在长方形abcd中，ab=，bc=1，e为线段dc上一动点，现将△aed沿ae折起，使点d在面abc上的射影k在直线ae上，当e从d运动到c，则k所形成轨迹的长度为。
23．如图，在三棱锥p﹣abc中，ac=bc=cp=1，且ac⊥bc，pc⊥面abc，过p作截面分别交ac，bc于e、f，且二面角p﹣ef﹣c为60°，则三棱锥p﹣efc体积的最小值为。
24．表面积为4π的球o与平面角为钝角的二面角的两个半平面相切于a、b两点，三角形oab的面积，则球心到二面角的棱的距离为。
25．已知边长为的正△abc，点d，e分别在边ab，ac上，且de∥bc，以de为折痕，把△ade折起至△a'de，使点a'在平面bced上的射影h始终落在bc边上，记，则s的取值范围为。
26．设直线l与球o有且只有一个公共点p，从直线l出发的两个半平面α，β截球o的两个截面圆的半径分别为1和，二面角α﹣l﹣β的平面角为，则球o的表面积为。
27．（理）已知半球的半径为r，点a、b、c都在底面圆o的圆周上，且ab为圆o的直径，bc=2．半球面上的一点到平面abc的距离为r，又二面角d﹣ac﹣b的平面角余弦值为，则该半球的表面积是。
28．如图，将菱形abcd沿对角线bd折起，使得c点至c′，e点**段ac′上，若二面角a﹣bd﹣e与二面角e﹣bd﹣c′的大小分别为15°和30°，则。
29．（2007江西）如图，正方体ac1的棱长为1，过点a作平面a1bd的垂线，垂足为点h．有下列四个命题：
a．点h是△a1bd的垂心；
b．ah垂直平面cb1d1；
c．二面角c﹣b1d1﹣c1的正切值为；
d．点h到平面a1b1c1d1的距离为其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）
30．（2006陕西）水平桌面α上放有4个半径均为2r的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放1个半径为r的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是。
2024年12月汪浩的高中数学组卷。
参***与试题解析。
一．填空题（共30小题）
1．椭圆的两个焦点为f1、f2，短轴的一个端点为a，且三角形f1af2是顶角为120°的等腰三角形形，则此椭圆的离心率为 ．
2．如图，边长为a的正△abc的中线af与中位线de相交于g，已知△a′ed是△aed绕de旋转过程中的一个图形，现给出下列命题：①动点a′在平面abc上的射影**段af上；②三棱锥a′﹣fed的体积有最大值；③恒有平面a′gf⊥平面bced；
异面直线a′e与bd不可能互相垂直；⑤异面直线fe与a′d所成角的取值范围是．其中正确命题的序号是 ①②将正确命题的序号都填上）
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