第7章第3讲。
一、选择题。
1．下列推理错误的是( )
a．a∈l，a∈α，b∈l，b∈αlα
b．a∈α，a∈β，b∈α，b∈βαab
c．lα，a∈laα
d．a、b、c∈α，a、b、c∈β且a、b、c不共线α与β重合。
解析] 当l与α相交时，点a可以成为交点．
答案] c2．异面直线是指( )
a．不相交的两条直线。
b．分别位于两个平面内的直线。
c．一个平面内的直线和不在这个平面内的直线。
d．不同在任何一个平面内的两条直线。
答案] d3．设p表示一个点，a、b表示两条直线，α、表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )
p∈a，p∈αaα
a∩b＝p，bβaβ
a∥b，aα，p∈b，p∈αbα
α∩βb，p∈α，p∈βp∈b
a．①②b．②③
c．①④d．③④
答案] d4．正方体ac1中，e、f分别是线段c1d、bc的中点，则直线a1b与直线ef的位置关系是( )
a．相交 b．异面。
c．平行 d．垂直。
答案] a5．(2009·湖南，6)平行六面体abcd－a1b1c1d1中，既与ab共面也与cc1共面的棱的条数为( )
a．3 b．4
c．5 d．6
答案] c6．(2010·重庆，9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )
a．只有1个 b．恰有3个。
c．恰有4个 d．有无穷多个。
解析] 如图，正方体abcd－efgh中，ab与fg为互相垂直的异面直线，且易得下列5个点到ab、fg的距离相等：点c、点e、bf的中点、dh的中点、正方体中心点o，故选d.
答案] d二、填空题。
7．平面α内有无数条直线与直线l平行是l∥α的___条件．
答案] 必要非充分。
8．如下图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段ab、cd、ef和gh在原正方体中相互异面的有___对．
解析] 原来的正方体应为下图．
其中ab与cd、ab与gh、ef和gh三对异面直线．
答案] 39．(2009·江苏，12)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
直线l与α重直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号___写出所有真命题的序号)．
答案] ①10．如图所示，在三棱锥c－abd中，e、f分别是ac和bd的中点，若cd＝2ab＝4，ef⊥ab，则ef与cd所成的角是___
解析] 取cb中点g，连接eg、fg，eg∥ab，fg∥cd.
ef与cd所成的角为∠efg.
又∵ef⊥ab，∴ef⊥eg.
在rt△efg中，eg＝ab＝1，fg＝cd＝2，sin∠efg＝，∴efg＝30°.
ef与cd所成的角为30°
答案] 30°
三、解答题。
11．(2008·四川)如下图所示，平面abef⊥平面abcd，四边形abef与abcd都是直角梯形，∠bad＝∠fab＝90°，bc綊ad，be綊af.
证明：c，d，f，e四点共面．
证明] 延长dc交ab的延长线于点g，(如下图)，由bc綊ad得＝＝＝
延长fe交ab的延长线于g′.
同理可得＝＝＝
故＝，即g与g′重合。
因此直线cd、ef相交于点g，即c，d，f，e四点共面．
12．(2007·江苏卷)如图，已知abcd－a1b1c1d1是棱长为3的正方体，点e在aa1上，点f在cc1上，且ae＝fc1＝1.
1)求证：e，b，f，d1四点共面；
2)若点g在bc上，bg＝，点m在bb1上，gm⊥bf，垂足为h，求证：em⊥bcc1b1；
3)(理)用θ表示截面ebfd1和面bcc1b1所成锐二面角大小，求tan θ.
1)[证明] 在dd1上取一点n使得dn＝1，连接cn，en，显然四边形cfd1n是平行四边形，所以d1f∥cn，同理四边形dnea是平行四边形，所以en∥ad，且en＝ad，又bc∥ad，且ad＝bc，所以en∥bc，en＝bc，所以四边形cneb是平行四边形，所以cn∥be，所以d1f∥be，所以e，b，f，d1四点共面．
2)[证明] 因为gm⊥bf所以△bcf∽△mbg，所以＝，即＝，所以mb＝1，因为ae＝1，所以四边形abme是矩形，所以em⊥bb1又平面abb1a1⊥平面bcc1b1，且em在平面abb1a1内，所以em⊥面bcc1b1.
3)[解] em⊥面bcc1b1，所以em⊥bf，em⊥mh，gm⊥bf，所以∠mhe就是截面ebfd1和面bcc1b1所成锐二面角的平面角∠emh＝90°，所以tan θ＝me＝ab＝3，△bcf∽△mhb，所以3∶mh＝bf∶1，bf＝＝，所以mh＝，所以tan θ＝
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