1、【2015江苏高考，16】如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，. 求证：
试题解析：（1）由题意知，为的中点，又为的中点，因此．又因为平面，平面，所以平面．
2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面．
2、【2016高考天津理数】（本小题满分13分）
如图，正方形abcd的中心为o，四边形obef为矩形，平面obef⊥平。
面abcd，点g为ab的中点，ab=be=2.
i）求证：eg∥平面adf；
ii）求二面角o-ef-c的正弦值；
iii）设h为线段af上的点，且ah=hf，求直线bh和平面cef所成角的正弦值。
试题解析：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.
i）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以。
ii）解：易证，为平面的一个法向量。依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得。
因此有，于是，所以，二面角的正弦值为。
3、【2015江苏高考，22】（本小题满分10分）
如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯
形，1）求平面与平面所成二面角的余弦值；
2）点q是线段bp上的动点，当直线cq与dp所成角最小时，求线段bq的长。
1）因为平面，所以是平面的一个法向量，．
因为，．设平面的法向量为，则，，即．令，解得，．
所以是平面的一个法向量．
从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．
2）因为，设（），又，则，又，从而．
设，，则．当且仅当，即时，的最大值为．
因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．
又因为，所以．
4、【2015高考山东，理17】如图，在三棱台中，分别为的中点。
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）若平面， ，求平面与平面所成的角（锐角）的大小。
试题解析：证法二：
在三棱台中，由为的中点，可得
所以四边形为平行四边形，可得
在中， 为的中点， 为的中点，所以
又 ，所以平面平面
因为平面 ，所以平面
ii）解法一：
设 ，则 ，在三棱台中，为的中点，由 ，可得四边形为平行四边形，因此 ，又平面 ，所以平面
在中，由 ，是中点，所以
立体几何大题专练
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