一．选择题（共27小题）
1．（2016宜宾模拟）如图，在四棱锥o﹣abcd中，底面abcd是边长为2的正方形，侧棱ob⊥底面abcd，且侧棱ob的长是2，点e，f，g分别是ab，od，bc的中点．
ⅰ）证明：ef∥平面boc；
ⅱ）证明：od⊥平面efg；
ⅲ）求三棱锥g﹣eof的体积．
解答】（ⅰ证明：取oc的中点h，连接fh，bh，f，h分别是od，oc的中点，fh，又∵在正方形abcd中，e是ab的中点，eb，ebfh，四边形befh是平行四边形，ef∥bh，又∵ef平面boc，bh平面boc，ef∥平面boc．
ⅱ）证明：连结de，oe，四边形abcd是边长为2的正方形，e是ab的中点，侧棱ob⊥底面abcd，ab面abcd，ob⊥ab
又∵ob=2，eb=1，∴，ode是等腰三角形，f是od的中点，∴ef⊥od．
同理dg=og=，∴odg是等腰三角形，f是od的中点，∴fg⊥od．
又∵ef∩fg=f，ef平面efg，fg面efg，od⊥平面efg．
ⅲ）解：∵侧棱ob⊥底面abcd，bd面abcd，ob⊥bd，四边形abcd是边长为2的正方形，bd=2，∴od==2．
f分别是od的中点，∴，ef⊥od，，fh⊥od，四边形abcd是边长为2的正方形，e，g是ab，bc的中点，eg==，三角形efg是等边三角形，∴，vg﹣oef=vo﹣efg===
2．（2016延庆县一模）如图，已知四棱锥s﹣abcd，底面abcd是边长为2的棱形，∠abc=60°，侧面sad为正三角形，侧面sad⊥底面abcd，m为侧棱sb的中点，e为线段ad的中点．
ⅰ）求证：sd∥平面mac；
ⅱ）求证：se⊥ac；
ⅲ）求三棱锥m﹣abc的体积．
解答】（ⅰ证明：连接bd交ac于o，连接mo，底面abcd是菱形，∴o为bd的中点，又m为侧棱sb的中点，om∥sd，又om面mac，sd面mac，sd∥平面mac；
ⅱ）证明：∵sad为正三角形，e为线段ad的中点，se⊥ad，又侧面sad⊥底面abcd，且侧面sad∩底面abcd=ad，se⊥底面abcd，而ac底面abcd，se⊥ac；
ⅲ）解：∵底面abcd是边长为2的棱形，∠abc=60°，△abc为边长是2的正三角形，则，又△sad为边长是2的正三角形，∴se=，由（ⅱ）知se⊥底面abcd，即s到底面的距离为，m为sb的中点，∴m到底面的距离为，．
3．（2016昌平区二模）如图，p是菱形abcd所在平面外一点，∠bad=60°，△pcd是等边三角形，ab=2，pa=2，m是pc的中点，点g为线段dm上一点（端点除外），平面apg与bd交于点h．
ⅰ）求证：pa∥gh；
ⅱ）求证：平面pac⊥平面bdm；
ⅲ）求几何体m﹣bdc的体积．
解答】（i）证明：连接mo．
四边形abcd是菱形，∴o为ac的中点，点m为pc的中点，mo∥pa．
又mo平面bdm，pa平面bdm，pa∥平面bdm．
又∵平面apg∩平面平面bdm=gh，pa平面apg，pa∥gh．
ii）证明：∵△pcd是边长为2的等边三角形，m是pc的中点．
dm=．四边形abcd是菱形，ab=2，∠bad=60°，△abd是边长为2的等边三角形，∴do=bd=1，又mo==，do2+mo2=dm2，∴bd⊥mo．
菱形abcd中，bd⊥ac，又mo平面pac，ac平面pac，mo∩ac=o，bd⊥平面pac．
又bd平面bdm，平面pac⊥平面bdm．
iii）解：∵四边形abcd是菱形，∠bad=60°，ab=2，ac=2ao=2．
在△pac中，∵pa=2，ac=2，pc=2，pa2+pc2=ac2，pa⊥pc，∵mo∥pa，pc⊥mo，又平面pac⊥平面bdm，平面pac∩平面bdm=mo，pc平面pac，pc⊥平面bdm．
vm﹣bdc=vc﹣bdm===
4．（2016丰台区二模）如图，三棱柱abc﹣a1b1c1中，侧面aa1c1c⊥底面abc，aa1=a1c=ac=2，bc=1，且ac⊥bc，点d，e，f分别为ac，ab，a1c1的中点．
ⅰ）求证：a1d⊥平面abc；
ⅱ）求证：ef∥平面bb1c1c；
ⅲ）写出四棱锥a1﹣bb1c1c的体积．（只写出结论，不需要说明理由）
解答】证明：（ⅰaa1c中，aa1=a1c，d为ac中点，a1d⊥ac；
又∵侧面aa1c1c⊥底面abc，侧面aa1c1c∩底面abc=ac，a1d平面aa1c1c，a1d⊥平面abc．
ⅱ）取b1c1的中点为g，连结fg，gb，f，g是a1c1，b1c1的中点，fg∥a1b1，且fg=a1b1，又eb∥a1b1，且eb=a1b1，fg∥eb，fg=eb，四边形fgbe为平行四边形；
ef∥bg，又∵bg平面bb1c1c，efbb1c1c，ef∥平面bb1c1c．
ⅲ）过a1作a1m⊥cc1，垂足为m，a1d⊥平面abc，bc平面abc，a1d⊥bc，又ac⊥bc，ac平面acc1a1，a1d平面acc1a1，ac∩a1d=d，bc⊥平面acc1a1，∵a1m平面acc1a1，cc1平面acc1a1，bc⊥a1m，bc⊥cc1．
又a1m⊥cc1，bc∩cc1=c，bc平面bcc1b1，cc1平面bcc1b1，a1m⊥平面bcc1b1．
aa1c1c是平行四边形，aa1=ac=a1c=2，△a1cc1是边长为2的等边三角形，∴a1m=．
四棱锥a1﹣bb1c1c的体积v===
5．（2016烟台二模）如图，在四棱锥s﹣abcd中，底面abcd是平行四边形，平面abc⊥平面cbs，侧面sbc是正三角形，ab=as，点e是sb的中点．
1）证明：sd∥平面ace；
2）证明：bs⊥ac；
3）若ab⊥as，bc=2，求三棱锥s﹣bcd的体积．
解答】证明：（1）连结bd，交ac于f，连结ef．
底面abcd是平行四边形，f是bd的中点，又e是bs的中点，ef∥sd，又sd平面aec，ef平面aec，sd∥平面aec．
2）∵ab=as，bc=cs，e是bs的中点，ae⊥bs，ce⊥bs，又ae平面aec，ce平面aec，ae∩ce=e，bs⊥平面aec，∵ac平面aec，bs⊥ac．
3）∵平面abc⊥平面cbs，平面abc∩平面cbs=bs，ae⊥bs，ae⊥平面bsc．
ab⊥as，bs=bc=cs=2，ae==1，s△bcs==．
vs﹣bcd=vd﹣bcs=va﹣bcs===
6．（2016海南校级模拟）如图，在四棱锥p﹣abcd中，已知ab⊥ad，ad⊥dc．pa⊥底面abcd，且ab=2，pa=ad=dc=1，m为pc的中点，n在ab上，且bn=3an．
1）求证：平面pad⊥平面pdc；
2）求证：mn∥平面pad；
3）求三棱锥c﹣pbd的体积．
解答】（1）证明：∵pa⊥底面abcd，cd底面abcd，pa⊥cd；
又ad⊥dc，ad平面pad，pa平面pad，pa∩ad=a，cd⊥平面pad，又cd平面pdc，平面pad⊥平面pdc．
2）证明：取pd的中点e，连接me，ae，m，e分别是pc，pd的中点，me∥cd，且=，又ab⊥ad，ad⊥dc，bn=3an，ab=2，an∥cd，an==，em∥an，em=an，四边形mean为平行四边形，mn∥ae，又ae平面pad，mn平面pad，mn∥平面pad．
3）解：∵pa⊥底面abcd，s△bcd==，vc﹣pbd=vp﹣bcd=s△bcdpa=．
7．（2016荆州模拟）如图，在直三棱柱abc﹣a1b1c1中，ab⊥bc，aa1=ac=2，bc=1，e，f分别是a1c1，bc的中点．
ⅰ）求证：平面abe⊥平面b1bcc1；
ⅱ）求证：c1f∥平面abe；
ⅲ）求三棱锥e﹣abc的体积．
解答】（ⅰ证明：在直三棱柱abc﹣a1b1c1中，bb1⊥底面abc，∴bb1⊥ab．
又∵ab⊥bc，bb1∩bc=b，∴ab⊥平面b1bcc1，又ab平面abe，∴平面abe⊥平面b1bcc1；
ⅱ）证明：取ab的中点g，连接eg，fg．
e，f，g分别是a1c1，bc，ab的中点，fg∥ac，且，．
ac∥a1c1，且ac=a1c1，∴gf∥ec1，且gf=ec1，四边形fgec1为平行四边形，c1f∥eg．
又∵eg平面abe，c1f平面abe，∴c1f∥平面abe；
ⅲ）解：∵aa1=ac=2，bc=1，ab⊥bc，∴．
三棱锥e﹣abc的体积．
8．（2016东城区二模）在梯形abcd中，ab∥cd，ad=dc=cb=a，∠abc=60°．平面acef⊥平面abcd，四边形acef是矩形，af=a，点m**段ef上．
ⅰ）求证：bc⊥am；
ⅱ）试问当am为何值时，am∥平面bde？证明你的结论．
ⅲ）求三棱锥a﹣bfd的体积．
解答】（ⅰ证明：由题意知，梯形abcd为等腰梯形，且ab=2a，由ab2+bc2=ac2，可知ac⊥bc．
又平面acef⊥平面abcd，且平面acef∩平面abcd=ac，bc平面abcd，所以bc⊥平面acef．
又am平面acef，所以bc⊥am．…5分。
ⅱ）解：当时，平面bde．
证明如下：当，可得，故。
在梯形abcd中，设ac∩bd=n，连结en，由已知可得cn：na=1：2，所以．所以em=an．
又em∥an，所以四边形anem为平行四边形．
所以am∥ne．
又ne平面bde，am平面bde，所以平面bde．
当时，平面bde．…11分。
ⅲ）解：由已知可得△abd 的面积，故．…14分。
9．（2016通州区一模）如图，在四棱锥p﹣abcd中，pa⊥底面正方形abcd，e为侧棱pd的中点，f为ab的中点，pa=ab=2．
立体几何 2
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立体几何 2
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2立体几何
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