学生姓名辅导日期辅导次数家长签字。
立体几何总复习。
专题四：空间角。
1、异面直线所成的角。
例1、如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为。
例2、在长方体abcd-a1b1c1d1中，已知ab=，bc=,aa1=c，求异面直线d1b和ac所成的角的余弦值。
方法一：过b点作 ac的平行线（补形平移法）
方法二：过ac的中点作bd1平行线。
方法三：（向量法）
例3、 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点
ⅰ）证明：面面；
ⅱ）求与所成的角；
证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间。
直角坐标系，则各点坐标为。
ⅰ）证明：因。
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面又在面上，故面⊥面
ⅱ）解：因。
例4、 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，为的中点求直线与所成角的余弦值。
解：（ⅰ建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、、、从而。
设的夹角为，则 ∴与所成角的余弦值为
二、直线和平面所成的角。
例1、在长方体ac1中，ab=2，bc=cc1=1，求：
1）cd与面abc1d1所成的角。
2）a1c与平面abc1d1所成的角。
3）a1c与平面bc1d所成的角。
例2、四面体abcd中，所有棱长都相等，m为ad的中点，求cm与平面bcd所成角的余弦值。
例3、四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，
ⅰ）证明；ⅱ）求直线与平面所成角的大小．
例4、如图，是互相垂直的异面直线，m、n分别在上，且mn，mn，点ab在上，c在上，am=mb=mn。
1）证明：ac nb
2）若abc=60，求nb与平面abc所成角的余弦值。()
三、平面与平面所成的角。
例1、如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点，1）求证：面；
2）求面与面所成二面角的大小．
1）证明：底面是菱形，
又面，面。面
又面 2）延长、交于点。
是的中点且是菱形。
又 由三垂线定理可知为所求角
在菱形中，
例2、如图，直二面角d—ab—e中，四边形abcd是边长为2的正方形，ae=eb，f为ce上的点，且bf⊥平面ace。
1）求证：ae⊥平面bce；
2）求二面角b—ac—e的大小；
解：（1）如图，∵ bf⊥平面ace ∴ bf⊥ae
又∵ 二面角d—ab—e为直二面角，且cb⊥ab
cb⊥平面abe ∴ cb⊥ae
∴ ae⊥平面bce
2）连bd交ac于g，连fg
正方形abcd边长为2 ∴ bg⊥ac，
bf⊥平面ace 由三垂线定理逆定理得fg⊥ac
∠bgf是二面角b—ac—e的平面角。
由（1）ae⊥平面bce ∴ ae⊥eb
又∵ ae=eb ∴ 在等腰直角三角形aeb中，
又∵ rt△bce中，
在rt△bfg中，
二面角b—ac—e等于。
例3、如图所示的几何体中，平面， ,是的中点。
ⅰ)求证：;
ⅱ)求二面角的余弦值。
解法一：ⅰ)证明：取的中点，连接，则，故四点共面，∵平面。
又由，平面。
ⅱ)取的中点，连，则。
平面过作，连，则。
是二面角的平面角。
设， 与的交点为，记 ,,则有。
又。在中，即二面角的余弦值为。
解法二： 分别以直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则。
所以。 ⅰ)证：
即。ⅱ)解：设平面的法向量为， ，由，得。
取得平面的一非零法向量为
又平面bda的法向量为 ，二面角的余弦值为。
例4、 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点
ⅰ）证明：面面；
ⅱ）求面与面所成二面角的大小
证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
ⅰ）证明：因。
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面又在面上，故面⊥面
ⅱ）解：在上取一点，则存在使。
要使。所求二面角的平面角
例5、如图，三棱锥p—abc中， pc平面abc，pc=ac=2，ab=bc，d是pb上一点，且cd平面pab．
() 求证：ab平面pcb；
() 求二面角c-pa-b的大小．
解法一：()pc平面abc，平面abc，pcab．
cd平面pab，平面pab，cdab．又，∴ab平面pcb．
) 取ap的中点e，连结ce、de．
pc=ac=2，∴ce pa，ce=．
cd平面pab，由三垂线定理的逆定理，得 de pa．
为二面角c-pa-b的平面角．由() ab平面pcb，又∵ab=bc，可求得bc=．在中，pb=， 在中， sin∠ced=．
二面角c-pa-b的大小为arcsin
解法二：（）同解法一．
) 设平面pab的法向量为m= (x，y，z)．，则即。
解得令= -1, 得 m= (0，-1)．
设平面pac的法向量为n=()则即解得令=1, 得 n= (1，1，0)．
二面角c-pa-b的大小为arccos．
专题五： 空间向量与立体几何。
一、利用空间向量证明空间位置关系。
例1：如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，为的中点。
(1)求证：∥平面；
2)求证：平面；
3)求二面角的大小。解答】
二、利用空间向量求线线角、线面角。
例2：已知三棱锥p－abc中，pa⊥abc，ab⊥ac，pa=ac=ab，n为ab上一点，ab=4an,m,s分别为pb,bc的中点。
ⅰ）证明：cm⊥sn；
ⅱ）求sn与平面cmn所成角的大小。
规范解答】设pa＝1，以a为原点，射线ab、ac、ap分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图。
则p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(2,0,0)，m(1,0, )n(,0,0)，s(1,,0)
i）三：利用空间向量求二面角。
例3：如图，在长方体中，、分别是棱，上的点，1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明平面。
2） 求二面角的正弦值。
解答】方法一：以a为坐标原点，ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴建立空间直角坐标系（如图所示），设，依题意得，1） 易得，，于是，所以异面直线与所成角的余弦值为。
2） 证明：已知，于是·=0，·=0.因此，,,又。
所以平面。3)解：设平面的法向量，则，即。
不妨令x=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。
于是，从而；所以二面角的正弦值为。
简单的几何体、三视图、直观图和面积、体积。
题型一：几何体性质。
例1：下列不正确的命题的序号是。
有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。
有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥。
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥。
答案 ①②变式训练1：下列结论不正确的是 （填序号）.
各个面都是三角形的几何体是三棱锥。
以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥。
圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线。
答案 ①②题型二：三视图与直观图。
例2（1）已知△abc的直观图a′b′c′是边长为a的正三角形，求原三角形abc的面积。
（2）用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要个小立方块。 最多只能用个小立方块。
答案 9 14
变式训练2：（临沂一模）一个几何体的三视图及长度数据如图， 则该几何体的表面积与体积分别为。
a、 b、 c、 dc
题型三：面积与体积。
例3 如图所示，半径为r的半圆内的阴影部分以直径ab所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠bac=30°)及其体积。
答案： r2， r3.
变式训练3：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是cm,1）求三棱台的斜高；
2）求三棱台的侧面积和表面积。
答案：三棱台斜高为cm,侧面积为cm2，表面积为cm2.
题型四：展开问题。
例4： 如图所示，长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=a，bc=b，bb1=c，并且a＞b＞c＞0.
求沿着长方体的表面自a到c1 的最**路的长。
变式训练4如图所示，在等腰梯形abcd中，ab=2dc=2，∠dab=60°，e为ab的中点，将△ade与△bec分别沿ed、ec向上折起，使a、b重合，求形成的三棱锥的外接球的体积。
立体几何复习专题
立体几何备考题。1.关于直线m，n和平面 有以下四个命题 当m n 时，m n 当m n，m n 时，当 m，m n时，n 且n 当m n，m时，n 或n 其中假命题的序号是 解析 对于 m，n可以相交，可以异面 对于 可以n 对于 可以n 答案 2.设 是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题 若...
立体几何专题无答案
立体几何专题2012年3月3日。一 选择题。1 正方体abcd a1b1c1d1中，p q e f分别是ab ad b1c1 c1d1的中点，则正方体的过p q e f的截面图形的形状是。a 正方形 b 平行四边形 c 正五边形d 正六边形。2 在 abc中，ab 2，bc 1.5，abc 120 ...
立体几何专题2答案
2.04广东18 本小题12分。如右下图，在长方体中，已知，分别是线段上的点，且。i 求二面角的正切值。ii 求直线与所成角的余弦值 均分 6.44 解析 i 以a为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有。d 0,3,0 d1 0,3,2 e 3,0,0 f 4,1,0 c1 4...