第一节空间向量的运算及空间位置关系。
归纳·知识整合】
1．空间直角坐标系及有关概念。
1)空间直角坐标系。
2)右手直角坐标系的含义：
当右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向．
3)空间中点m的坐标：
空间中点m的坐标常用有序实数组(x，y，z)来表示，记作m(x，y，z)，其中x叫做点m的横坐标，y叫做点m的纵坐标，z叫做点m的竖坐标．
建立了空间直角坐标系后，空间中的点m和有序实数组(x，y，z)可建立一一对应的关系．
2．空间两点间的距离。
1)设点a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则|ab|＝.
特别地，点p(x，y，z)与坐标原点o的距离为|op|＝.
2)设点a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段ab的中点坐标为。
3．空间向量的概念及运算。
空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵循三角形或平行四边形法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标．
4．空间向量的有关定理。
1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，叫做空间的一个基底．
5．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)
1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点o，作＝a，＝b，则角∠aob叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π若〈a，b〉＝，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
2)两向量的数量积：
两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
3)向量的数量积的性质：
a·e＝|a|cos〈a，e〉；
a⊥ba·b＝0；
|a|2＝a·a＝a2；
|a·b|≤|a||b|.
4)向量的数量积满足如下运算律：
(λa)·b＝λ(a·b)；
a·b＝b·a(交换律)；
a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
6．空间向量的坐标运算。
1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，a＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
a⊥ba1b2＋a2b2＋a3b3＝0；
a∥ba1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈r)；
cos〈a，b〉＝＝
2)设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则。
－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
**] 1．空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？坐标轴上的点的坐标有什么特点？
提示：空间直角坐标系中的坐标平面将空间分成8部分．坐标轴上点的坐标的特点是另外两个坐标均为零．
**] 2．对于实数a，b，若ab＝0，则一定有a＝0或b＝0，而对于向量a，b，若a·b＝0，则一定有a＝0或b＝0吗？
提示：不一定．因为当a≠0且b≠0时，若a⊥b，也有a·b＝0.
**] 3．对于非零向量b，由a·b＝b·ca＝c，这一运算是否成立？
提示：不成立．根据向量数量积的几何意义，a·b＝b·c说明a在b方向上的射影与c在b方向上的射影相等，而不是a＝c.
例1】已知点m(3,2,1)，n(1,0,5)，求：
1)线段mn的长度；
2)到m，n两点的距离相等的点p(x，y，z)的坐标满足的条件．
求解空间距离的关键点。
解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键．若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．
1．已知直三棱柱abc－a1b1c1中，∠bac＝90°，ab＝ac＝aa1＝2，m为bc1的中点，n为a1b1的中点，求|mn|.
例2】 (1)如图，在长方体abcd－a1b1c1d1中，o为ac的中点．
化简。用，，表示，则。
2)向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)．计算2a＋3b,3a－2b的值．
本例中(1)条件不变，结论改为：设e是棱dd1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x，y，z的值．
用已知向量表示某一向量的方法。
用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．
2.如图所示，已知空间四边形abcd中，向量＝a，＝b，＝c，若m为bc中点，g为△bcd的重心，试用a、b、c表示下列向量：
【例3】已知e，f，g，h分别是空间四边形abcd的边ab，bc，cd，da的中点，用向量法证明：
1)e，f，g，h四点共面；
2)bd∥平面efgh.
应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较。
3．证明三个向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3共面．
证明：若e1，e2，e3共面，显然a，b，c共面；
【例4】如图所示，直三棱柱abc－a1b1c1，底面△abc中，ca＝cb＝1，∠bca＝90°，棱aa1＝2，m、n分别是a1b1、a1a的中点．
1)求bn的长；
2)求异面直线ba1与cb1所成角的余弦值；
3)求证：a1b⊥c1m.
空间向量数量积的应用。
1)求夹角．设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝进而可求两异面直线所成的角；
2)求长度(距离)．运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；
3)解决垂直问题．利用a⊥ba·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
4．已知空间三点a(－2,0,2)，b(－1,1,2)，c(－3,0,4)．设a＝，b＝，1)求a和b的夹角θ的余弦值；
2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
2个原则——建立空间直角坐标系的原则。
1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；
2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．
1个方法——利用向量法求解立体几何问题的一般方法。
利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．在这里，恰当地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为代数问题．另外，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础．
立体几何 2
第二节空间几何体的表面积与体积。一知识点 了解球 棱柱 棱锥 台得表面积和体积的计算公式。二近三年高考命题特点 趋势。高考仍将空间几何体的表面积和体积为主要考查点。考查学生空间想象能力 运算能力。三自主性复习设计。基础知识预览。1 多面体的面积和体积公式 s表示面积，c c分别表示上 下底面周长，h...
立体几何 2
高考主要考查 1 证明直线与平面的平行，2 证明直线与平面的垂直，3 证明直线与直线的垂直，4 计算二面角。一 例题简讲解 例1 如下图所示，在直三棱柱中，证明 平面 若是棱的中点，在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论 例2 如下图，已知四棱锥中，平面，是直角梯形，90，1 求证 2 段上是否存...
2立体几何
2008 学考2 若一个几何体的三视图都是三角形，则这个集合体是 a.圆锥 b.四棱锥 c.三棱锥 d.三棱台。2008 学考7 若一个菱长为a的正方形的个顶点都在半径为r的球面上，则a与r的关系是。a.r a b.r c.r 2a d.r 2008 学考19 已知直线a，b和平面，若ab，a，则b...