例题。1．如图１，在直三棱柱中，，分别是的中点，是的中点。
1)求证：;
2)求三棱锥的体积；
3)求二面角的余弦值。
解：(1)证明：
证法一：在直三棱柱中，平面，平面。
分别是的中点，…1分。
在中， 易证。
在中， 同理可得[**：学*科*网]
为等边三角形， …2分。
又是的中点， …3分。
…4分[**：学+科+网z+x+x+k]
…5分。(2)解法一：取的中点，连。
又。平面……6分。
…7分。…8分。
…9分。解法二：取的中点，连。
又。…6分。
三棱锥的体积为。
…7分。…8分。
……9分。解法三：易知与是全等的边长为的等边三角形。
等腰三角形的底边上的高为。
三角形的面积为……6分。
由（1）知三棱锥的体积为。
…7分。…8分。
…9分。3）解法一：由（2）解法。
一、二易知平面，过f作于h,连接he
是的中点，
平面hef，平面hef平面，平面即是所求二面角的平面角。
在中， …13分二面角的余弦值是。……14分。
解法二： 以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，的长度为单位长度建立空间直角坐标系。 …10分。
由题设知点的坐标分别为。
,…11分。
设平面的法向量为。
取，得。……12分。
da…13分。
结合图象知二面角的余弦值是。……14分。
如图所示，多面体中，是梯形，，是矩形，平面平面，，。
1）求证：平面；
2）若是棱上一点，平面，求；
3）求二面角的平面角的余弦值。
．证明与求解：（1）平面，，从而。又因为面，平。
．如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，平面，，．
1）证明：；
2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
、【解析】（法一）（1）平面平面，
…1分。又，平面。
而平面。3分。
是圆的直径，．
又，[**：z。xx。
平面，平面．
与都是等腰直角三角形．
即（也可由勾股定理证得5分。
平面．而平面，6分。
2）延长交于，连，过作，连结．
由（1）知平面，平面，而，平面．
平面，为平面与平面所成的。
二面角的平面角8分。
在中，由，得．
又，则11分。
是等腰直角三角形，．
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． …12分[**：学。
法二）（1）同法一，得3分。
如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．
由已知条件得， …4分。
由，得6分。
2）由（1）知．
设平面的法向量为，由得，令得9分。
由已知平面，所以取面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则， …11分。
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． …12分。
．ad为等边三角形中bc边上的高，在ad上取点e，使。过e作直线mn平行bc,交ab于m,交ac于n.现将沿mn折起，使点a到点a’的位置。若。
１）证明：平面。
２）求平面与平面所成二面角的余弦值。
解：（１联结a’b,a’d,a’c因为，折叠后ae变到a’e位置，仍有令a’e=1,ed=2,在中由预先定理得。
所以由勾股定理知是直角三角形，，又，所以，由，所以，所以平面。
2）以e为原点，ed为y轴，em为x轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为。
设的法向量为得，同理得的法向量为。
所以二面角的余弦值为。
练习]1． c
4． 【答案】d
解析】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出d到平面ac的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现。
方法一：因为bb1//dd1,所以b与平面ac所成角和dd1与平面ac所成角相等，设do⊥平面ac，由等体积法得，即。设dd1=a,则，.
所以，记dd1与平面ac所成角为，则，所以。
方法二：设上下底面的中心分别为；与平面ac所成角就是b与平面ac所成角，.
5．【答案】
解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。
6．（本小题满分12分）在棱长为的正方体中，是线段中点，.
ⅰ) 求证： ；求证：∥平面；
ⅲ) 求三棱锥的体积。
如图，在等腰直角中，，，为垂足．沿将对折，连结、，使得．
1）对折后，**段上是否存在点，使？若存在，求出的长；若不存在，说明理由；
2）对折后，求二面角的平面角的正切值．
解：（1）**段上存在点，使1分。
由等腰直角可知，对折后，，．
在中，4分。
过作的垂线，与的交于点，点就是
满足条件的唯一点．理由如下：
连结，平面，即**段上存在点，使6分。
在中，，，得．……7分。
2）对折后，作于，连结，平面，平面平面9分，且平面平面，平面．
而，所以平面，即为二面角的平面角． …11分。
在中，得，在中，，，得。
12分。在中。
即二面角的平面角的正切值等于14分。
8．（本题满分13分）如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点b，且．
1）求棱与bc所成的角的大小；
2）**段上确定一点p，使，并求出二面角的平面角的余弦值．
【解析】（1）如图，以a为原点建立空间直角坐标系，则，，．
故与棱bc所成的角是6分。
2）设，则．
于是（舍去），则p为棱的中点，其坐标为8分。
设平面的法向量为，则， 即令
故11分。而平面的法向量2=（1,0,0），则。
故二面角的平面角的余弦值是14分。
立体几何讲义2答案
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