知识梳理】一。 平面。
1. 点、线、面的关系(能用集合的数学符号来表示)
2. 平面的基本性质:
公理1作用:证明直线在平面内的依据。
公理2作用:判定两平面相交、确定交线的依据。
公理3推论1推论2:
推论3公理3及推论的作用:确定平面的依据;证明平面重合的依据。
二。 空间直线和直线的位置关系。
1. 相交、平行、重合、异面;
2. 平行公理、空间等角定理;
3. 异面直线:(1)定义:不能置于同一平面内的两条直线称为异面直线。
2)判定方法:反证法(或书上例题的方法)
3)异面直线所成角: 平移转化成平面角或建系用空间向量。
三。 直线与平面的位置关系。
1. 平行、相交(垂直、斜交)、在平面内;
2. 直线与平面垂直:如果一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则称直线与平面垂直。
判定1:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,则这条直线与这个平面垂直。
判定2:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。
性质1:如果两条直线垂直于同一个平面,这两条直线平行。
性质2:如果一条直线垂直于一个平面,这条直线垂直于平面内的每一条直线。
线段的射影结论、角的射影结论。
3. 直线与平面所成角——利用定义找到线面垂直转化成平面角来度量。
四。 平面与平面的位置关系(理)
1. 两面角定义。
2. 两面角的计算:(1)定义法(2)三垂线法(3)面积射影。
注意度量空间的角或者距离要:一作、二证、三计算!
亦可借助空间向量来度量空间的角(异面直线、线面成角、二面角)和空间的距离(点到平面)。
例题选讲】一、填空题。
1. 两条直线没有交点是这两条直线为异面直线的的条件。
2. 长方体三个相邻面的对角线长分别为、、,那么这个长方体的对角线长为。
3. 一条与平面相交的线段,其长度为10cm,两端点到平面的距离分别为2cm、3cm,这条线段与平面所成的角是。
4. 已知e,f,g,h分别为空间四边形abcd四条边ab,bc,cd,da的中点,若bd=2,ac=6,那么eg2+hf2
5. 已知点p是△abc所在平面α外一点,点o是p在平面α上的射影。
若p点到△abc三个顶点的距离相等,则点o是△abc的。
若pa=pb=pc,∠acb=,则点o位于___
若p点到△abc的三边距离相等,且点o在△abc内,则点o是△abc的___
6. 在△abc中,bc=21,∠bac=120°,△abc所在平面外一点p到a、b、c的距离都是14,则p到平面abc的距离为。
7. 直角三角形abc的斜边bc在平面内,顶点a在平面内的射影为d,则△bcd的形状是。
8. pa、pb、pc是从p点引出的三条射线,它们之间每两条的夹角都是600,则直线pc与平面pab所成的角是。
9. 空间四边形abcd中,p为ab的中点、q为cd的中点,且ac=4,pq=3,bd=2,则异面直线ac和bd所成的角大小为。
10. 是正方体,e,f分别是的中点,则ef与对角面所成角的度数是。
11. pa⊥平面abc,ab=ac=13,bc=10,pa=5,则点p到直线bc的距离。
12. 过长为的正六边形abcdef在平面内,,pa=,则p到bc的距离为p到cd的距离为。
13. a是锐二面角的棱上一点,p是平面上的一点,pb⊥于b,pa与直线成450角,pa与平面成300角,则二面角的大小是。
14. 一个山坡与水平面成的二面角,坡角的水平线(即二面角的棱)为ab,甲沿山坡自p朝垂直于ab的方向走30米至c点,同时乙沿水平面自q朝垂直于ab的方向走30米至d点,p,q 都是ab上的点,若pq =10米,则这时甲、乙两人之间的距离为。
二.选择题。
15. 在下列命题中,真命题是( )
a、若直线m,n都平行于平面,则。
b、设是直二面角,若直线,则。
c、若直线m,n在平面内的射影依次是一个点和一条直线,且,则n在内或n//
d、设m,n为异面直线,若m与平面平行,则n与相交。
16. 三个互不重合的平面把空间分成六个部分时,它们的交线有( )
a.1条 b.2条 c.3条 d.1条或2条。
17. 设是空间一直线,为一平面,不管与的位置关系如何,下列结论中正确的是。
a)在平面上至少有一直线与平行 (b) 在平面上至少有一直线与异面
c)在平面上至少有一直线与相交 (d)在平面上至少有一直线与垂直
18. 空间四点,“无三点共线”是“四点不共面”的( )
a、充分非必要条件 b、必要非充分条件 c、充分必要条件 d、非充分非必要条件。
三、解答题。
1、正四棱柱中,,求异面直线与所成角的余弦值。
用两种方法来解题)
2. 如图,在长方体中,的中点,1)求证:de⊥be;
2)求与平面bce所成角的大小。
3)求二面角e-bd-c的大小;
3. 如图,已知长方体abcd-a1b1c1d1中,aa1=4,ad=3,ab=4,e、f分别是ab、a1 d1的中点,求:
1) 点e、f间的距离;
2) 点a1到直线b c1的距离;
3) 点b1到平面a1b c1的距离。
4.如图,在四棱锥中,底面,,,是的中点.
ⅰ)证明;ⅱ)证明平面;
5.如图,四面体abcd中,o、e分别是bd、bc的中点,
求证:平面bcd;
求异面直线ab与cd所成角余弦的大小;
求点e到平面acd的距离.
6.如图,在四面体abcd中,已知所有棱长都为a,点e、f分别是ab、cd的中点。
1)求线段ef的长;
2)求直线ef与平面bcd所成角;
3)求二面角a-cd-b的大小。
7、直三棱柱的侧棱,底面中,,。
1)求点到平面的距离;
2)求与平面所成角的大小;
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