立体几何、解析几何解答题一。
1.如图，在三棱锥p－abc中，ab⊥bc，ab＝bc＝kpa，点o、d分别是ac、pc的中点，op⊥底面abc．
（ⅰ）求证：∥平面。
ⅱ) 当k＝时，求直线pa与平面pbc所成角的大小；
(ⅲ)当k取何值时，o在平面pbc内的射影恰好为△pbc的重心？
解：方法一：
ⅰ) o、d分别为ac、pc中点，
又，pa与平面pbc所成的角的大小等于，ⅲ）由(ⅱ)知，，∴f是o在平面pbc内的射影。
d是pc的中点，若点f是的重心，则b，f，d三点共线，直线ob在平面pbc内的射影为直线bd，即。
反之，当时，三棱锥为正三棱锥，o在平面pbc内的射影为的重心。
方法二：，以o为原点，射线op为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）
设则，设，则。
ⅰ) d为pc的中点，又，ⅱ)即，可求得平面pbc的法向量，设pa与平面pbc所成的角为，则。
ⅲ）的重心，又，即，反之，当时，三棱锥为正三棱锥，o在平面pbc内的射影为的重心。
2. 如图6，在棱长，的长方体中，点e是平面bcc1b1上的点，点f是cd的中点．
1）试求平面ab1f的法向量；
2）试确定e的位置，使平面。
如图，建立空间直角坐标系a-xyz，则a（0，0，0），b1（2，0，3），f（1，2，0），∴1，2，0）。
1）设平面ab1f的一个法向量为，由得即∴，∴可取平面ab1f的一个法向量为．
2）∵d1（0，2，3），设e（2，y，z），则，由（1）知，平面ab1f的一个法向量为，∴要使d1e平面ab1f，只须使，∴令，即∴∴当e点坐标为（2，1，时，d1e平面ab1f．
5.如图，为半圆，ab为半圆直径，o为半圆圆心，且od⊥ab，q为线段od的中点，已知|ab|=4，曲线c过q点，动点p在曲线c上运动且保持|pa|+|pb|的值不变
1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线c的方程；
2)设p是曲线c上任意一点，过原点的直线l与曲线c交于mn两点，直线pm,pn的斜率都存在，并分别记为，证明： 为定值，并求出这个定值。
解 (1)以ab、od所在直线分别为x轴、y轴，o为原点，建立平面直角坐标系，
|pa|+|pb|=|qa|+|qb|=2＞|ab|=4
曲线c为以原点为中心，a、b为焦点的椭圆
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1
曲线c的方程为+y2=1
2) 过原点的直线与椭圆相交于两点关于坐标原点对称设，
在椭圆上，应满足椭圆方程，得，10分)
12分)故的值与点的位置无关，同时也与直线无关13分)
6.如图所示，已知一次函数与二次函数相交于，，两点，其中，且：
求的值。求关于的函数关系式。
当时，求以原点为中心，f为一个焦点且过点b的椭圆方程。
解：（1）由
又由得。3）当时，
设椭圆的方程为且过点b
即或。又，故，所以所求为。
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