1 。(本小题满分12分)如图，为矩形，为梯形，平面平面，，，
ⅰ)若为中点，求证：平面；
ⅱ)求平面与所成锐二面角的余弦值。
1．（本小题满分12分）
ⅰ) 证明：连结，交与，连结，中，分别为两腰的中。
点2分。因为面，又面，所以平面………4分。
ⅱ) 设平面与所成锐二面角的大小为，以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则。
………6分。
设平面的单位法向量为，则可设………7分。
设面的法向量，应有。
即：，解得：，所以………10分。
………11分。
所以平面与所成锐二面角的余弦值为………12分。
2．（本小题满分13分）
一个四棱锥的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形，直角边长为2，直观图如图。
1）求四棱锥的体积：
2）求二面角c—pb—a大小；
3）为棱pb上的点，当pm长为何值时，
2、解（1）由二视图可知，3分。
2）如图，以d为坐标原点，分别以所在。
直线为。点为e，则是平面pbc的法向量；设ap中点为f，同理。
可知是平面pab的法向量。
知是平面的法向量。
6分。设二面角，显然所以。
二面角大小为9分。
3）p（2，0，0），b（0，2，2），c（0，2，0），a（0，0，2），共线，可设。
11分。的长为时，……13分。
3．如图6所示，等腰三角形△abc的底边ab=，高cd=3，点e是线段bd上异于b、d的动点，点f在bc边上，且ef⊥ab，现沿ef将△bef折起到△pef的位置，使pe⊥ae，记be=，v（）表示四棱锥p-acef的体积。（14分）
1）求v()的表达式；
2）当为何值时，v()取得最大值？
3）当v（）取得最大值时，求异面直线ac与pf所成角的余弦值。
3．(1)由折起的过程可知，pe⊥平面abc,v()=
2),所以时， ,v()单调递增；时 ,v()单调递减；因此=6时，v()取得最大值；
3)过f作mf//ac交ad与m,则，pm=,在△pfm中， ,异面直线ac与pf所成角的余弦值为。
4．有一边长为l的正，沿平行于bc的直线pq折叠后，使平面平面，设点a’到pq的距离为x，试回答下列问题：
1）设a’b=d,用x和l表示的最小值；
2）设，求的最小值。
解：（1）设，h为bc的中点，pq//bc，所以，平面bcqp,因此a’mbm, a’m=am=x, ah=l,
所以。a’b2=d2=a’m2+bm2=x2+bh2+mh2
x2++(2=x2+x2-++
因为，所以当时，有最小值。
2）为等腰三角形，a’b=a’c=d,bc=d,
从上式可得，当d2最小时，也最小，由知为最小。
5. 如图，矩形abcd中，ab＝2，bc＝2，以ac为轴翻折半平面，使二平面角b—ac—d为120°，求：(1)翻折后，d到平面abc的距离；(2)bd和ac所成的角。
5.解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同。
解分别过b、d作ac的垂线，垂足是e、f，过f作fb′∥be，过b作bb′∥ac，交点b′，则四边形efb′b是矩形。
ac⊥df，ac⊥b′f，∴ac⊥平面b′fd，即∠dfb’就是二面角b—ac—d的平面角，亦即∠dfb′＝120°.
过d作do⊥b′f，垂足为o.∵do平面dfb′，ac⊥平面dfb′.∴do⊥af，do⊥平面abc.
在rtδadc中，cd＝2，ad＝2，∴df＝，od＝df·sin60°＝.
2)在δdfb′中，db′＝＝3.
又由(1)可知，ac∥bb′，ac⊥平面dfb′⊥平面dfb′.∴bb′⊥平面dfb′，δdbb′是直角三角形，又bb′＝ef＝2.∴tan∠dbb′＝.
ac∥bb′,∴ac与bd所成的角就是∠dbb′，即为arctan.
说明处理翻折问题，只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题型处理，本题也可以这样考虑，即利用异面直线df、be上两点b、d间的距离，先求出bd2＝ef2+df2+be2-2df·be·cos120°＝13，从而得出∠dbb′＝arccos.练习。
2．d 3． (折叠后的图形是正方体的一部分，球直径即正方体体对角线的长)
6．b6．如图，在底面为直角梯形的四棱锥p—abcd中，，平面。
1）求证：平面pac；
2）求二面角的大小。
6.解：（1）如图，建立坐标系，则，2分，又6分。
2）设平面的法向量为，设平面的法向量为，则8分。
解得， 令，则10分。
二面角的大小为。 …12分。
7．（本小题满分14分）
如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．
ⅰ）求证：//平面；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）求二面角的大小．
7．（本小题满分14分）
解法一：ⅰ）证明：∵，分别是线段，的中点，2分。
又∵平面，平面，//平面4分。
（ⅱ）解：为的中点，且，又底面，底面 ，又四边形为正方形，
又 ， 平面7分。
又平面。8分。
又 ，平面9分。
ⅲ）平面，平面，平面平面，平面，平面平面，平面，分别是线段，的中点，/，平面．
平面，平面，10分[**：z。xx。
就是二面角的平面角12分。
在中，所以二面角的大小为14分。
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，，．
2分。ⅰ）证明：∵,平面，且平面4分。
//平面5分。
ⅱ）解6分。
8分。又，
平面9分。ⅲ）设平面的法向量为，
因为，则取12分。
又因为平面的法向量为。
所以13分。
所以二面角的大小为14分。
8、解：(ⅰ证明：方法一)连ac,bd交于o点，连go,fo,eo.
e,f分别为pc,pd的中点， ,同理，四边形efog是平行四边形，平面efog. …3分。
又在三角形pac中，e,o分别为pc,ac的中点， pa//eo……4分。
平面efog,pa平面efog, …5分。
pa//平面efog,即pa//平面efg. …6分。
方法二) 连ac,bd交于o点，连go,fo,eo.
e,f分别为pc,pd的中点， ,同理。
又，平面efg//平面pab, …4分。
又pa平面pab,平面efg. …6分。
方法三)如图以d为原点，以。
为方向向量建立空间直角坐标系。
则有关点及向量的坐标为：
…2分。设平面efg的法向量为。
取。……4分，……5分。
又平面efg. ap//平面efg. …6分。
ⅱ)由已知底面abcd是正方形，又∵面abcd
又。平面pcd,向量是平面pcd的一个法向量， =8分。
又由(ⅰ)方法三)知平面efg的法向量为……9分。
…10分。结合图知二面角的平面角为……11分。
ⅲ) 13分。
…14分。
立体几何讲义1答案
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