1、证：(ⅰ连接交于，连接。
分别是的中点，∴∥且=,∴四边形是矩形。
是的中点3分)
又∵是的中点5分)
则由，得7分)
注：利用面面平行来证明的，类似给分)
ⅱ) 在直三棱柱中，⊥底面，∴⊥
又∵,即⊥,∴面………9分)
而面11分)
又，由(ⅰ)平面13分)
平面，∴平面平面14分)
2、解：(1)因为bc平面abe，ae平面abe，所以aebc，又bf平面ace，ae平面ace，所以aebf，又bfbc=b，所以ae平面bce，又be平面bce，所以aebe．
2)如图所示，取de的中点p，连结pa，pn，因为点n为线段ce的中点．
所以pn//dc，且，又四边形abcd是矩形，点m为线段ab的中点，所以am//dc，且，所以pn//am，且pn=am，故amnp是平行四边形，所以mn//ap，而ap平面dae，mn平面dae，所以mn//平面dae．
3、证明：（ⅰ连接ac，则ac∥a1c1，而e, f分别是ab, bc的中点，所以ef∥ac，则ef∥a1c1，又∵平面a1bc1，ef平面a1bc1故ef∥平面a1bc1………7分。
ⅱ）因为bb1⊥平面a1b1c1d1, a1c1平面a1b1c1d1所以bb1⊥a1c1，又a1c1⊥b1d1，bb1 b1d1= b1, bb1 ,b1d1平面d1dbb1
则a1c1⊥平面d1dbb112分。
又平面a1bc1，所以平面d1dbb1平面a1bc1………14分。
4、证明：（ⅰ设ac于bd交于点g。因为ef∥ag,且ef=1，ag=ag=1
所以四边形agef为平行四边形所以af∥eg因为eg平面bde,af平面bde,所以af∥平面bde
ⅱ）连接fg。因为ef∥cg,ef=cg=1,且ce=1,所以平行四边形cefg为菱形。所以cf⊥eg.
因为四边形abcd为正方形，所以bd⊥ac.又因为平面acef⊥平面abcd,且平面acef∩平面abcd=ac,所以bd⊥平面acef.所以cf⊥bd.
又bd∩eg=g,所以cf⊥平面bde.
5、证明：（1）设，连接，易知是的中点，是中点．∴在△中2分。
平面，平面， ∥平面6分。
2）平面平面 ,平面平面平面，又平面，又，,平面10分。
在中，为的中点，,平面，又平面， 平面平面．……14分。
6、证明：1)取pc中点g，连接fg、eg。
因为f、g分别为pd、pc的中点，所以fg∥cd且fg=cd，又ae∥cd且ae=cd，所以，fg∥ae且fg=ae，四边形aegf为平行四边形，因此，af∥eg，又af 平面pce，所以af∥平面pce。
2) 由pa⊥平面abcd，知pa⊥cd，又cd⊥ad，所以cd⊥平面pad，cd⊥af。
又pa⊥ad，f为pd的中点，则af⊥pd，因此，af⊥平面pcd。
而af∥eg，故eg⊥平面pcd，又eg平面pce，所以，平面pce⊥平面pcd。
7、证明（1）因为e，f分别是bc，cd的中点，所以ef∥bd2分。
因为ef平面pbd，bd平面pbd，所以ef∥平面pbd6分。
2）设bd交ac于点o，连结po，因为abcd是菱形，所以bd⊥ac，o是bd中点，又，所以bd⊥po，
又ef∥bd，所以ef⊥ac，ef⊥po. …10分。
又，平面pac，平面pac，所以ef⊥平面pac12分。
因为ef平面pef，所以平面pef⊥平面pac14分。
．证明：（1）设n是oa的中点，连接mn，nb，因为m是od的中点，所以mn//ad，且2mn=ad，又ad//bc，ad=2bc，所以mnbc是平行四边形，所以mc//nb，[**：学&科&网]
又mc平面oab，nb平面oab，所以直线mc//平面oab7分）
2）设h是bd的中点，连接ah，因为ab=ad，所以，又因为ob=od，所以。
所以bd 面oah
所以14分）
14分。9、（ⅰac=bc， p是ab的中点∴ab⊥pc
aa1⊥面abc，cc1∥aa1，∴cc1⊥面abc而ab在平面abc内∴cc1⊥ab，cc1∩pc=c∴ab⊥面pcc1
又∵m、n分别是aa1、bb1的中点，四边形aa1b1b是平行四边形，mn∥ab，∴mn⊥面pcc1
mn在平面mnq内，∴面pcc1⊥面mnq；
ⅱ）连pb1与mn相交于k，连kq，mn∥pb，n为bb1的中点，∴k为pb1的中点．
又∵q是c1b1的中点∴pc1∥kq
而kq平面mnq，pc1平面mnq∴pc1∥面mnq．
10、（1）证明：因为，，所以。
又，，所以。
又，所以。又，所以．
2）解：取的中点，连接，因为点为线段的中点．所以||，且。
又四边形是矩形，点为线段的中点，所以||，且，所以||，且，故四边形是平行四边形，所以||
而平面，平面，所以∥平面。
11、（1）因bc∥b1c12分。
且b1c1平面mnb14分。
bc平面mnb1，故bc∥平面mnb16分。
2）因bc⊥ac，且abc-a1b1c1为直三棱柱8分。
故bc⊥平面acc1a1．
因bc平面a1cb10分。
故平面a1cb⊥平面acc1a112分。
12【证明】（1）因为ab⊥平面acd，de⊥平面acd，所以ab∥de.
取ce的中点g，连结bg、gf，因为f为的中点，所以gf∥ed∥ba， gf＝ed＝ba，从而abgf是平行四边形，于是af∥bg4分。
因为af平面bce，bg平面bce，所以af∥平面bce7分。
2）因为ab⊥平面acd，af平面acd，所以ab⊥af，即abgf是矩形，所以af⊥gf9分。
又ac=ad，所以af⊥cd11分。
而cd∩gf＝f，所以af⊥平面gcd，即af⊥平面cde. 因为af∥bg，所以bg⊥平面cde.
因为bg平面bce，所以平面bce⊥平面cde14分。
.证明：（1）由题意知，同理，……2分。
又4分。5分。
2)在图甲中， …6分。
10分。3），af为三棱锥a-cde的高，且。
又ab=ce=214分。
14、答案：（3）连结fg．可证三棱锥c－bgf中，ｃｆ与底面bgf垂直，所以所求体积为．
15、（1）证明：，且平面。
平面3分。2）证明：在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形。
∴，又，∴，在rt△中，4分， 则，6分。
又7分。∴平面9分。
3）∵是中点，
到面的距离是到面距离的一半11分。
14分[
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