10. 【2014高考湖北理第19题】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱，上移动，且。
1）当时，证明：直线平面；
2）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
由已知得，所以，，，1）证明：当时，，因为，所以，即，而平面，且平面，12. 【2014高考江西理第19题】如图，四棱锥中，为矩形，平面平面。
1）求证：2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值。
余弦值为。27. （2024年高考北京卷理科17）如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形。平面abc⊥平面aa1c1c，ab=3，bc=5.
ⅰ）求证：aa1⊥平面abc；（ⅱ求二面角a1-bc1-b1的余弦值；
ⅲ）证明：**段bc1存在点d，使得ad⊥a1b，并求的值。
解得，所以。由，即，解得。因为，所以**段上存在点d，使得，此时。
立体几何综合问题。
备考知识梳理】
空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点。归纳起来常见的命题角度有：
1 以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明。
2 探索性问题中的平行与垂直问题。
3 折叠问题中的平行与垂直问题。
规律方法技巧】
1. 证线面平行，一般都考虑采用以下两种方法：第一，用线面平行的判定定理，第二用面面平行的性质定理；2、证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面。
这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；3、条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理。比如本题中已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；4、在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线；若是给出了一些比例关系，则通过比例关系证明线线平行。线线平行是平行关系的根本。
5、在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．
2. 探索性问题。
探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目。一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。
探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．
3．折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，弄清哪些角度和长度变了，哪些没有变；哪些线共面，哪些线不共面，翻折后的线与原来的线有什么联系，尤其要注意找出互相平行或垂直的直线。 尤其是隐含着的垂直关系．
4．把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。
1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；
2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；
3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题。]
5. 向量为谋求解立体几何的探索性问题。
空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解集更加简单、有效，应善于运用这一方法解题。
考点针对训练】
1. 【2014江苏省扬州开学检测】如图（1），等腰直角三角形的底边，点**段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））．
ⅰ）求证：；
ⅱ）若，直线与平面所成的角为，求长．
2. 【2014成都二月月考】如图，在四棱锥p-abcd中，侧面pad⊥底面abcd，侧棱，底面为直角梯形，其中bc∥ad, ab⊥ad, ,o为ad中点。(1)求直线与平面所成角的余弦值；(2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
10. 【2014河北省衡水中学第五次调研】直四棱柱中，底面为菱形，且为延长线上的一点，面。设。
ⅰ)求二面角的大小；
ⅱ)在上是否存在一点，使面？若存在，求的值；不存在，说明理由。
11. .2013北京朝阳区期末】在长方体中，，点在棱上，且．
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由；
ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的长．
ⅲ）因为∥，且点，所以平面、平面与面是同一个平面．
立体几何创新题
作者 数学金刊 试题研究组。数学金刊 高中版 2011年第12期。立体几何历来是高考改革的一块试验田，随着高考改革的不断深入，独具匠心的立体几何试题层出不穷，常令人目不暇接 望 题 兴叹 为了让莘莘学子摸清立体几何创新题的命题规律，本刊试题研究组的老师们精选了5道别具一格的立几试题 1 如图1，四棱...
立体几何题
1 如图，四边形abcd是边长为1的正方形，且md nb 1，e为bc的中点。段an上是否存在点s，使得es平面amn？若存在，求线段as的长 若不存在，请说明理由。2正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，i 求证 ii 设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请...
立体几何题
17 本小题满分13分 直三棱柱abc a1b1c1中，acb 120 ac cb a1a 1，d1是a1b1上一动点 可。以与a1或b1重合 过d1和c1c的平面与ab交于d.证明bc 平面ab1c1 若d1为a1b1的中点，求三棱。锥b1 c1ad1的体积 求二面角d1 ac1 c的取值范围。1...