、解答题。
74.（2003京春文，19）如图9—19，abcd—a1b1c1d1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，e是棱bc的中点。
ⅰ）求三棱锥d1—dbc的体积；
ⅱ）证明bd1∥平面c1de；
ⅲ）求面c1de与面cde所成二面角的正切值。
图9—1图9—20
75.（2003京春理，19）如图9—20，正四棱柱abcd—a1b1c1d1中，底面边长为2，侧棱长为分别为棱ab，bc的中点，ef∩bd=g.
ⅰ）求证：平面b1ef⊥平面bdd1b1；
ⅱ）求点d1到平面b1ef的距离d；
ⅲ）求三棱锥b1—efd1的体积v.
76.（2002京皖春文，19）在三棱锥s—abc中，∠sab=∠sac=
acb=90°，且ac=bc=5，sb=5.（如图9—21）
ⅰ）证明：sc⊥bc；
ⅱ）求侧面sbc与底面abc所成二面角的大小；
ⅲ）求三棱锥的体积vs－abc.
77.（2002京皖春理，19）在三棱锥s—abc中，∠sab=∠sac=∠acb=90°，ac=2，bc=，sb=.
ⅰ）证明：sc⊥bc；
ⅱ）求侧面sbc与底面abc所成二面角的大小；
ⅲ）求异面直线sc与ab所成的角的大小（用反三角函数表示）.
图9—22图9—23
78.（2002全国文，19）四棱锥p—abcd的底面是边长为a的正方形，pb⊥面abcd，如图9—22所示。
ⅰ）若面pad与面abcd所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面pad与面pcd所成的二面角恒大于90°.
79.（2002北京文，18）如图9—23，在多面体abcd—a1b1c1d1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.
ⅰ）求侧面abb1a1与底面abcd所成二面角的正切值；
ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式v估=s中截面·h来计算。已知它的体积公式是v=（s上底面+4s中截面+s下底面），试判断v估与v的大小关系，并加以证明。
注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）
80.（2002北京理，18）如图9—24，在多面体abcd—a1b1c1d1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于e，f两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.
ⅰ）求侧面abb1a1与底面abcd所成二面角的大小；
ⅱ）证明：ef∥面abcd；
ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式v估=s中截面·h来计算。已知它的体积公式是v=（s上底面+4s中截面+s下底面），试判断v估与v的大小关系，并加以证明。
注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）
81.（2002全国文，22）（ⅰ给出两块相同的正三角形纸片（如图（1），图（2）），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图（1）、图（2），并作简要说明；
ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
图9—2582.（2002全国理，18）如图9—26，正方形abcd、abef的边长都是1，而且平面abcd、abef互相垂直。点m在ac上移动，点n在bf上移动，若cm=bn=a（0＜a＜）.
ⅰ）求mn的长；
ⅱ）当a为何值时，mn的长最小；
ⅲ）当mn长最小时，求面mna与面mnb所成的二面角α的大小。
图9—26图9—27
83.（2001春季北京、安徽，19）如图9—27，已知vc是△abc所在平面的一条斜线，点n是v在平面abc上的射影，且在△abc的高cd上。ab＝a，vc与ab之间的距离为h，点m∈vc.
ⅰ）证明∠mdc是二面角m—ab—c的平面角；
ⅱ）当∠mdc＝∠cvn时，证明vc⊥平面amb；
ⅲ）若∠mdc＝∠cvn＝θ（0＜θ＜求四面体mabc的体积。
84.（2001上海，19）在棱长为a的正方体oabc—o′a′b′c′中，e、f分别是棱ab、bc上的动点，且ae＝bf．
ⅰ）求证：a′f⊥c′e；
ⅱ）当三棱锥b′—bef的体积取得最大值时，求二面角b′—ef—b的大小（结果用反三角函数表示）．
85.（2001全国理17，文18）如图9—28，在底面是直角梯形的四棱锥s—abcd中，∠abc＝90°，sa⊥面abcd，sa＝ab＝bc＝1，ad＝.
ⅰ）求四棱锥s—abcd的体积；
ⅱ）求面scd与面sba所成的二面角的正切值。
86.（2000京皖春理20,文21）在直角梯形abcd中，如图9—29，∠d＝∠bad＝90°，ad＝ab＝a（如图（1）），将△adc沿ac折起，使d到d′，记面acd′为α，面abc为β，面bcd′为γ．
图9—29ⅰ）若二面角α—ac—β为直二面角（如图（2）），求二面角β—bc—γ的大小；
ⅱ）若二面角α—ab—β为60°（如图（3）），求三棱锥d′—abc的体积．
87.（2000全国理，18）如图9—30，已知平行六面体abcd—a1b1c1d1的底面abcd是菱形，且∠c1cb＝∠c1cd＝∠bcd＝60°．
ⅰ）证明：c1c⊥bd；
ⅱ）假定cd＝2，cc1＝，记面c1bd为α，面cbd为β，求二面角α—bd—β的平面角的余弦值；
ⅲ）当的值为多少时，能使a1c⊥平面c1bd？请给出证明．
图9—30 图9—31
88.（2000全国文，19）如图9—31，已知平行六面体abcd—a1b1c1d1的底面abcd是菱形，且∠c1cb＝∠c1cd＝∠bcd．
ⅰ）证明：c1c⊥bd；
ⅱ）当的值为多少时，能使a1c⊥平面c1bd?请给出证明．
89.（2000上海，18）如图9—32所示四面体abcd中，ab、bc、bd两两互相垂直，且ab＝bc＝2，e是ac中点，异面直线ad与be所成的角大小为arccos，求四面体abcd的体积．
图9—32图9—33
90.（1999全国文22，理21）如图9—33，已知正四棱柱abcd—a1b1c1d1，点e在棱d1d上，截面eac∥d1b，且面eac与底面abcd所成的角为45°，ab＝a.
ⅰ）求截面eac的面积；
ⅱ）求异面直线a1b1与ac之间的距离；
ⅲ）求三棱锥b1－eac的体积。
91.（1998全国理，23）已知如图9—34，斜三棱柱abc—a1b1c1的侧面a1acc1与底面abc垂直，∠abc＝90°，bc＝2，ac＝2，且aa1⊥a1c，aa1＝a1c.
ⅰ）求侧棱a1a与底面abc所成角的大小；
ⅱ）求侧面a1abb1与底面abc所成二面角的大小；
ⅲ）求顶点c到侧面a1abb1的距离。
图9—34图9—35
92.（1998全国文，23）已知如图9—35，斜三棱柱abc—a1b1c1的侧面a1acc1与底面abc垂直，∠abc＝90°，bc＝2，ac＝2，且aa1⊥a1c，aa1＝a1c.
ⅰ）求侧棱a1a与底面abc所成角的大小；
ⅱ）求侧面a1abb1与底面abc所成二面角的大小；
ⅲ）求侧棱b1b和侧面a1acc1的距离。
93.（1997全国，23）如图9—36，正方体abcd—a1b1c1d1中，e、f分别是bb1、cd的中点。
ⅰ）证明：ad⊥d1f；
ⅱ）求ae与d1f所成的角；
ⅲ）证明：面aed⊥面a1fd1；
ⅳ）（理）设aa1＝2，求三棱锥f—a1ed1的体积。
文）设aa1＝2，求三棱锥e—aa1f的体积。
图9—36图9—37
94.（1997上海理）如图9—37在三棱柱abc—a′b′c′中，四边形a′abb′是菱形，四边形bcc′b′是矩形，c′b′⊥ab.
1）求证：平面ca′b⊥平面a′ab；
2）若c′b′=3，ab=4，∠abb′=60°，求ac′与平面bcc′所成的角的大小（用反三角函数表示）.
95.（1996上海，21）如图9—38，在二面角α—l—β中，a、b∈α，c、d∈l，abcd为矩形，p∈β，pa⊥α，且pa＝ad，m、n依次是ab、pc的中点。
1）求二面角α—l—β的大小；
2）求证：mn⊥ab；
3）求异面直线pa与mn所成角的大小。
图9—38图9—39
96.（1995全国文24，理23）如图9—39，圆柱的轴截面abcd是正方形，点e在底面的圆周上，af⊥de，f是垂足。
ⅰ）求证：af⊥db；
ⅱ）（理）如果圆柱与三棱锥d—abe的体积比等于3π，求直线de与平面abcd所成的角。
文）求点e到截面abcd的距离。
97.（1995上海，23）如图9—40，四棱锥p—abcd中，底面是一个矩形，ab＝3，ad＝1，又pa⊥ab，pa＝4，∠pad＝60°.
ⅰ）求四棱锥p—abcd的体积；
ⅱ）求二面角p—bc—d的大小（用反三角函数表示）.
图9—40图9—41
98.（1994全国，23）如图9—41，已知a1b1c1—abc是正三棱柱，d是ac中点。
ⅰ）证明：ab1∥平面dbc1；
ⅱ）（理）假设ab1⊥bc1，求以bc1为棱的dbc1与cbc1为面的二面角α的度数。
文）假设ab1⊥bc1，bc＝2，求线段ab1在侧面b1bcc1上的射影长。
99.（1994上海，23）如图9—42在梯形abcd中，ad∥bc，abc＝，ab＝a，ad＝3a，且∠adc＝arcsin，又pa⊥平面abcd，pa=a.
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