高二立体几何高二数学讲义（五）
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
有下列四个结论，其中正确结论的个数为___
①互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于。
同一条直线的两条直线平行；④两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线．
下列几何体中既能使截面是长方形，又能使截面是圆的是___
①圆锥；②棱柱；③圆柱；④球．
下列给出4个“平面α与β重合”的条件，其中正确的一个是___填序号)．
①有两个公共点；②有无数个公共点；③有不共线的三个公共点；④有一条公共直线．
在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是___写。
出所有正确结论的编号)．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
如图甲，在正方形sg1g2g3中，e、f分别是边g1g2、g2g3的中点，d是ef的中点，现沿se、sf及ef把这个正方形折成一个几何体(图。
乙)，使g1、g2、g3三点重合于点g，这样，下面结论成立的是___
①sg⊥平面efg；②sd⊥平面efg；
③gf⊥平面sef；④gd⊥平面sef.
正方体的表面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是___
四面体s－abc的三组对棱分别相等，且长度依次为2，，5，则该四面体的体积为___
在正三棱锥p－abc中，d，e分别是ab，bc的中点，有下列三个论断：
①ac⊥pb；②ac∥平面pde；③ab⊥平面pde.其中正确论断的序号为___
如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是s，那么圆柱的体积等于___
若一圆锥的轴截面面积为4cm2，侧面积为8πcm2，则它的体积等于___cm3.
圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱。
的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是___cm.
如图所示，正方体abcd－a1b1c1d1中，三棱锥d1－ab1c的表面积与正方。
体的表面积的比为___
在正三棱柱abc－a1b1c1中，ab＝1，若二面角c－ab－c1的大小为60°，则点c到平面abc1的距离为___
已知rt△abc的斜边在平面α内，直角顶点c是α外一点，ac、bc与α所成角分别为30°和45°，则平面abc与α所成锐角为___
二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
本小题满分14分)如图，已知正三棱柱abca1b1c1的底面边长为2，侧棱长为3，点e在侧棱aa1上，点f在侧棱bb1上，且ae＝2，bf＝.
求证：cf⊥c1e.
本小题满分14分)如图，四棱锥p－abcd的底面是矩形，pa⊥平面abcd，e，f分别是ab，pd的中点，且二面角p－cd－b为45°.求证：
1)af∥平面pec；
2)平面pec⊥平面pcd.
本小题满分14分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．
本小题满分16分)如图，在斜三棱柱abc－a1b1c1中，aa1＝ac＝bc＝a，∠a1ac＝∠c1cb＝60°，二面角a－cc1－b的大小为90°，求此斜三棱柱的侧面积．
本小题满分16分)如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形sab，q为底面圆周上一点．
1)如果qb的中点为c，oh⊥sc，求证：oh∥平面sbq；
2)如果∠aoq＝60°，qb＝2，求圆锥的体积．
本小题满分16分)如图，在四棱锥p－abcd中，底面abcd是正方形，pd⊥底面abcd，m，n分别是pa，bc的中点，且pd＝ad＝1.
1)求证：mn∥平面pcd；
2)求证：平面pac⊥平面pbd；
3)求三棱锥p－abc的体积．
答案 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
有下列四个结论，其中正确结论的个数为___1___
互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线．
解析：①错误，异面直线也可能垂直．②错误，应有无数条．③错误，可能平行，相交或异面．④正确．
下列几何体中既能使截面是长方形，又能使截面是圆的是。
圆锥；②棱柱；③圆柱；④球．
解析：③平行于轴的截面是长方形，垂直于轴的截面是圆．
下列给出4个“平面α与β重合”的条件，其中正确的一个是填序号)．
有两个公共点；②有无数个公共点；③有不共线的三个公共点；④有一条公共直线．
在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体_①③写出所有正确结论的编号)．
矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：在正方体abcd－a1b1c1d1中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面或对角面，即正方形或长方形，①正确，②错误；棱锥a－bda1符合③，∴正确；棱锥a1－bdc1符合④，∴正确；
棱锥a1－abc符合⑤，∴正确．
如图甲，在正方形sg1g2g3中，e、f分别是边g1g2、g2g3的中点，d是ef的中点，现沿se、sf及ef把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使g1、g2、g3三点重合于点g，这样，下面结论成立的是___
sg⊥平面efg；②sd⊥平面efg；
gf⊥平面sef；④gd⊥平面sef.
解析：在图甲中，sg1⊥g1e，sg3⊥g3f；
在图乙中，sg⊥ge，sg⊥gf，sg⊥平面efg.
正方体的表面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是___
解析：设正方体棱长为b，则b＝2r，s球＝4πr2＝4π·(b)2＝3πb2，又a2＝6b2，∴s球＝a2.
四面体s－abc的三组对棱分别相等，且长度依次为2，，5，则该四面体的体积为___
解析：由已知对棱相等，将四面体“补”成如图所示的长方体，使四面体的对棱分别为长方体相对面的对角线．
设长方体的三棱长分别为x，y，z，则解得。
那么v四面体＝v长方体－4vd－sab＝v长方体－4×v长方体＝v长方体＝8.
在正三棱锥p－abc中，d，e分别是ab，bc的中点，有下列三个论断：①ac⊥pb；②ac∥平面pde；③ab⊥平面pde.其中正确论断的序号为。
解析：由p－abc为正三棱锥知，pb⊥ac，又由de∥ac得，ac∥平面pde.
如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是s，那么圆柱的体积等于___
解析：设底面半径为r，则2πr·2r＝s，故r＝，所以v＝πr2·2r＝.
若一圆锥的轴截面面积为4cm2，侧面积为8πcm2，则它的体积等于___cm3.
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则有·2r·h＝4，·2πr·l＝8π，又h2＋r2＝l2，因此可得r＝2 cm，h＝2 cm，l＝4 cm，∴v圆锥＝πr2h＝8π cm3.
圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底。
面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是___cm.
解析：设球的半径为r cm，则πr2×8＋πr3×3＝πr2×6r，解得r＝4.
如图所示，正方体abcd－a1b1c1d1中，三棱锥d1－ab1c的表面积与正方体的表。
面积的比为___
解析：设正方体的棱长为a，则s正方体＝6a2，正四面体d1－ab1c的棱长为a，s正四面体＝4××(a)2＝2a2， 所以＝＝.
在正三棱柱abc－a1b1c1中，ab＝1，若二面角c－ab－c1的大小为60°，则点c到平面abc1的距离为___
解析：如图，取ab中点为o，连结c1o和co.
三棱柱abc－a1b1c1是正三棱柱，co⊥ab.∵ac1＝bc1，∴c1o⊥ab，则∠c1oc即为二面角c－ab－c1的平面角．
又ab＝1，∴co＝，c1c＝，oc1＝.
下面用等体积法求距离．
vc1－abc＝vc－abc1，∴s△abc·cc1＝s△abc1·d，即×＝×1××d.∴d＝.
已知rt△abc的斜边在平面α内，直角顶点c是α外一点，ac、bc与α所成角分别为30°和45°，则平面abc与α所成锐角为___
解析：如图所示，过点c作垂直于α的直线co，交α于点o.
∠cao＝30°，∠cbo＝45°.
设co＝a，∴rt△aco中，ac＝2a，在rt△bco中，bc＝a.
过c点在平面abc内作cd⊥ab，连结od，则∠cdo为平面abc
与α所成的锐角，ab＝a，cd＝a，∴在rt△cdo中，sin∠cdo＝＝，cdo＝60°
二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分14分)如图，已知正三棱柱abca1b1c1的底面边长为2，侧棱长为3，点e在侧棱aa1上，点f在侧棱bb1上，且ae＝2，bf＝.
求证：cf⊥c1e.
证明：由已知可得cc1＝3，ce＝c1f＝＝2，ef2＝ab2＋，ef＝c1e＝＝，于是有ef2＋c1e2＝c1f2，ce2＋c1e2＝cc，所以c1e⊥ef，c1e⊥ce.
又ef∩ce＝e，所以c1e⊥平面cef.
又cf平面cef，故cf⊥c1e.
立体几何讲义
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高二数学立体几何 2
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