a．2b．1∶2c．1d．4∶3π
11、设a，b，c，d是空间不共面的四点，且满足，，，则△bcd是。
a．钝角三角形 b．直角三角形 c．锐角三角形 d．不确定。
12、将=600,边长为1的菱形abcd沿对角线ac折成二面角，若[60°,120°],则折后两条对角线之间的距离的最值为。
a．最小值为， 最大值为 b．最小值为， 最大值为。
c．最小值为， 最大值为 d．最小值为， 最大值为。
二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分）
13、已知向量、满足6，与的夹角为，则3||－2（·）4
14、如图，在四棱锥p－abcd中，e为cd上的动点，四边形abcd为时，体积vp－aeb恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．
15、若棱锥底面面积为，平行于底面的截面面积是，底面和这个截面的距离是，则棱锥的高为。
16、一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为。
三、解答题：（本大题共6题，共46分）
17.在如图7-26所示的三棱锥p—abc中，pa⊥平面abc，pa=ac=1，pc=bc，pb和平面abc所成的角为30°。
1）求证：平面pbc⊥平面pac；
2）比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小；
3）求ab的中点m到直线pc的距离。
18．如图8-32，在正三棱柱abc—a1b1c1中，e∈bb1，截面a1ec⊥侧面ac1。
1）求证：be=eb1；
2）若aa1=a1b1，求平面a1ec与平面a1b1c1所成二面角（锐角）的度数。
19.已知边长为a的正三角形abc的中线af与中位线de相交于g（如图7-28），将此三角形沿de折成二面角a′—de—b。
1）求证：平面a′gf⊥平面bced；
2）当二面角a′—de—b为多大时，异面直线a′e与bd互相垂直？证明你的结论。
20.如图7-29，在四棱锥p—abcd中，底面abcd是平行四边形，∠bad=60°，ab=4，ad=2，侧棱pb=，pd=。
1）求证：bd⊥平面pad；
2）若pd与底面abcd成60°的角，试求二面角p—bc—a的大小。
21.如图7-30，已知vc是△abc所在平面的一条斜线，点n是v在平面abc上的射影，且n位于△abc的高cd上。ab=a,vc与ab之间的距离为h，m∈vc。
1）证明∠mdc是二面角m—ab—c的平面角；
2）当∠mdc=∠cvn时，证明vc⊥平面amb；
3）若∠mdc=∠cvn=θ（0<θ<求四面体mabc的体积。
22.如图7-31，已知矩形abcd，ab=2ad=2a,e是cd边的中点，以ae为棱，将△dae向上折起，将d变到d′的位置，使面d′ae与面abce成直二面角（图7-32）。
1）求直线d′b与平面abce所成的角的正切值；
2）求证：ad′⊥be；
3）求四棱锥d′—abce的体积；
4）求异面直线ad′与bc所成的角。
高二数学立体几何答案。
一、选择题：
1、d 2、d 3、b 4、c 5、a 6、b 7、b 8、b 9、c 10、c 11、c 12、b
二、填空题：
14、ab∥cdcm
三、解答题。
17.解 （1）由已知pa⊥平面abc，pa=ac=1，得△pac为等腰直角三角形，pc=cb=。
在rt△pab中，∠pba=30°，∴pb=2，∴△pcb为等腰直角三角形。
pa⊥平面abc， ∴ac⊥bc，又ac∩pc=c，pc⊥bc，bc⊥平面pac，∵bc平面pbc，∴平面pbc⊥平面pac。
2）三个侧面及底面都是直角三角形，求得侧面pac的面积为，侧面pab面积值为，侧面pcb面积值为1，底面积值为。三个侧面面积的算术平均数为。
-=，其中3+- 3=（3-2>0,三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值。
3）如图，过m作md⊥ac，垂足为d。
平面pac⊥平面abc且相交于ac，∴md⊥平面pac。
过d作de⊥pc，垂足为e，连结me，则de是me在平面pbc上的射影，de⊥pc，∴me⊥pc，me的长度即是m到pc的距离。
在rt△abc中，∵md∥bc，∴md=bc=。在等腰rt△pac中，de=dcsin45°=，在rt△abc中，∵md∥bc，∴md=bc=。在等腰rt△pac中，de=dcsin45°=，me===即点m到pc的距离为。
18.解 （1）在截面a1ec内，过e作eg⊥a1c，g是垂足。∵面a1ec⊥面ac1，∴eg⊥侧面ac1，取ac的中点f，连结bf，fg，由ab=bc得bf⊥ac。
∵面abc⊥侧面ac1，∴bf⊥侧面ac1，得bf∥eg。由bf，eg确定一个平面，交侧面ac1于fg。∵be∥侧面ac1，∴be∥fg，四边形begf是平行四边形，be=fg。
∵be∥aa1，∴fg∥aa1。又△aa1c∽△fgc，且af=fc，∴fg=aa1=bb1，即be=bb1，故be=eb1。
2）分别延长ce、c1b1交于点d，连结a1d。∵eb1∥cc1，eb1=bb1=cc1，∴db1=dc1=b1c1=a1b1。∵∠b1a1c1=∠b1c1a1=60°，∠da1b1=∠a1db1= (180°-∠db1a1)=30°，∴da1c1=∠da1b1+∠b1a1c1=90°，即da1⊥a1c1。
∵cc1⊥平面a1c1b1，即a1c1是a1c在平面a1c1d上的射影，根据三垂线定理得da1⊥a1c1，∴∠ca1c1是所求二面角的平面角。∵cc1= aa1=a1b1=a1c1, ∠a1c1c=90°，∴ca1c1=45°，即所求二面角为45°。
19.解 （1）∵△abc是正三角形，af是bc边的中线，af⊥bc。
又d、e分别是ab、ac的中点，de∥bc。
af⊥de，又af∩de=g，a′g⊥de，gf⊥de，de⊥平面a′fg，又de平面bced，平面a′fg⊥平面bced。
2）∵a′g⊥de，gf⊥de，∠a′gf是二面角a′—de—b的平面角。
平面a′gf∩平面bced=af，作a′h⊥ag于h ，a′h⊥平面bced。
假设a′e⊥bd，连eh并延长ad于q，则eq⊥ad。
ag⊥de，h是正三角形ade的重心，也是中心。
ad=de=ae=，∴a′g=ag=a,hg=ag=a。
在rt△a′hg中，cos∠a′gh==.
∠a′gf =πa′gh, ∴cos∠a′gf= -a′gf=arcos(-)即当∠a′gf=arcos(-)时，a′e⊥bd。
20.解 （1）由已知ab=4，ad=2，∠bad=60°，得bd2=ad2+ab2-2ad·abcos60° =4+16-2×2×4×=12。
ab2=ad2+bd2，△abd是直角三角形，∠adb=90°，即ad⊥bd。
在△pdb中，pd=，pb=，bd=，pb2=pd2+bd2，故得pd⊥bd。
又pd∩ad=d，∴bd⊥平面pad。
2）∵bd⊥平面pad，bd平面abcd，平面pad⊥平面abcd。
作pe⊥ad于e，又pe平面pad，∴pe⊥平面abcd，∠pde是pd与底面bcd所成的角，∴∠pde=60°，pe=pdsin60°=·
作ef⊥bc于f，连pf，则pf⊥bc，∴∠pfe是二面角p—bc—a的平面角。
又ef=bd=，∴在rt△pef中，tan∠pfe===
故二面角p—bc—a的大小为arctan。
21.解 （1）由已知，vn⊥平面abc，n∈cd，ab平面abc，得vn⊥ab。又∵cd⊥ab，dc∩vn=n
ab⊥平面vnc。
又v、m、n、d都在vnc所在平面内，所以，dm与vn必相交，且ab⊥dm，ab⊥cd，∠mdc为二面角m—ab—c的平面角。
2）由已知，∠mdc=∠cvn，在△vnc与△dmc中，∠ncv=∠mcd，且∠vnc=90°，∠dmc=∠vnc=90°，故有dm⊥vc。又ab⊥vc，vc⊥平面amb。
3）由（1）、（2）得md⊥ab，md⊥vc，且d∈ab，m∈vc，md=h。又∵∠mdc=θ.
在rt△mdc中，cm=h·tanθ。
v四面体mabc=v三棱锥c—abm=cm·s△abm
h·tanθ·ah =ah2tanθ
22.解 （1）∵d′—ae—b是直二面角，平面d′ae⊥平面abce。
作d′o⊥ae于o，连 ob，则d′o⊥平面abce。
∠d′bo是直线d′b与平面abce所成的角。
d′a=d′e=a，且d′o⊥ae于o，∠ad′e=90°
o是ae的中点，ao=oe=d′o=a, ∠d′ae=∠bao=45°。
在△oab中，ob=
=a。在直角△d′ob中，tan∠d′bo==。
2）如图，连结be，∠aed=∠bec=45°，∠bea=90°，即be⊥ae于e。
d′o⊥平面abce，d′o⊥be，be⊥平面ad′e，be⊥ad′。
3）四边形abce是直角梯形，sabce=（a+2a）·a=a2。
d′o是四棱锥的高且d′o=a,vd′—abce=（a）·（a2）=a3。
4）作ak∥bc交ce的延长线于k，∠d′ak是异面直线ad′与bc所成的角，四边形abck是矩形，ak=bc=ek=a。
连结ok，d′k,ok=d′o=a, ∠d′ok=90°, d′k=a, ak=ad′=d′k=a。
△d′ak是正三角形，∴∠d′ak=60°，即异面直线ad′与bc成60°
高二立体几何数学讲义
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