数学练习。
2009北京高考）1．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则到底面的距离为。
ab．1cd．
2005北京高考）2．在正四面体p—abc中，d，e，f分别是ab，bc，ca的中点，下面四个结论中不成立的是。
a．bc//平面pdfb．df⊥pae
c．平面pdf⊥平面abc d．平面pae⊥平面abc
2010北京高考）3．正方体abcd-的棱长为2，动点e、f在棱上，动点p，q分别在棱ad，cd上，若ef=1，a1e=x，dq=y，dp＝z（x，y，z大于零），则四面体pefq的体积。
a．与x，y，z都有关。
b．与x有关，与y，z无关。
c．与y有关，与x，z无关。
d．与z有关，与x，y无关。
2008北京高考）4．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是。
2011北京高考）5．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.
ⅰ）求证：平面。
ⅱ）若求与所成角的余弦值；
ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长。
证明：（ⅰ因为四边形abcd是菱形，所以ac⊥bd.
又因为pa⊥平面abcd.
所以pa⊥bd.
所以bd⊥平面pac.
ⅱ）设ac∩bd=o.
因为∠bad=60°，pa=pb=2,所以bo=1，ao=co=.
如图，以o为坐标原点，建立空间直角坐标系o—xyz，则。
p（0，—，2），a（0，—，0），b（1，0，0），c（0，，0）.
所以。设pb与ac所成角为，则。
ⅲ）由（ⅱ）知。
设p（0，－，t）（t>0），则。
设平面pbc的法向量，则。
所以。令则。
所以。同理，平面pdc的法向量。
因为平面pcb⊥平面pdc,所以=0，即。
解得。所以pa=
2010北京高考）6．如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，ce⊥ac,ef∥ac,ab=，ce=ef=1.
ⅰ）求证：af∥平面bde；
ⅱ）求证：cf⊥平面bde；
ⅲ）求二面角a-be-d的大小。
ⅰ）略。ⅱ）因为正方形abcd和四边形acef所在的平面。
相互垂直，且ceac，所以ce平面abcd.
如图，以c为原点，建立空间直角坐标系c-.
则c（0，0，0），a（，，0），b（0，，0）,d(, 0, 0)，e(0, 0, 1)，.
所以，，.所以，所以，.
所以bde.
ⅲ）二面角的大小为。
2009北京高考）7．如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且。
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；
ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由。
ⅰ）略。ⅱ）与平面所成的角的大小。
ⅲ）∴在棱pc上存在一点e，使得ae⊥pc，这时，故存在点e使得二面角是直二面角。
2008北京高考）8．如图，在三棱锥中，，，
ⅰ）求证：；
ⅱ）求二面角的大小；
ⅲ）求点到平面的距离．
ⅰ）略。ⅱ）二面角的大小为．
ⅲ）点到平面的距离为．
2007北京高考）9．如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．
）求证：平面平面；
）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
）求与平面所成角的最大值．
）略。）异面直线与所成角的大小为．
）cd与平面所成角的最大值为．
2006北京高考）10．如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，，平面，且，点是的中点。
ⅰ）求证：；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）求二面角的大小。
ⅰ）略 （ⅱ略。
ⅲ）二面角的大小为。
2005北京高考）11． 如图， 在直四棱柱abcd－a1b1c1d1中，ab＝ad＝2，dc＝2，aa1＝，ad⊥dc，ac⊥bd, 垂足未e，（i）求证：bd⊥a1c；
（）求二面角a 1－bd－c 1的大小；
（）求异面直线 ad与 bc 1所成角的大小．
i）略。）二面角a1－bd－c1的大小为90°．
）异面直线ad与bc1所成角的大小为．
2011西城一模）12．如图，四面体的三条棱两两垂直，,，为四面体外一点。给出下列命题。①不存在点，使四面体有三个面是直角三角形②不存在点，使四面体是正三棱锥③存在点，使与垂直并且相等。
存在无数个点，使点在四面体的外接球面上其中真命题的序号是。
abcd．③④
2011东城一模文）13．空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是，点是上的动点，满足到的距离是到到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值为。
ab．cd．
2011西城一模）14．如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为。
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求二面角的余弦值；
ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论。
ⅰ）证明： 因为平面，所以2分。
因为是正方形，所以，从而平面4分。
ⅱ）解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示。
因为与平面所成角为，即5分。
所以。由可知6分。
则，所以7分。
设平面的法向量为，则，即，令，则8分。
因为平面，所以为平面的法向量，所以9分。
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为10分。
ⅲ）解：点是线段上一个动点，设。
则，因为平面，所以11分。
即，解得12分。
此时，点坐标为，，符合题意13分。
2011海淀一模）15．在如图的多面体中，⊥平面，是的中点．
ⅰ) 求证：平面；
ⅱ) 求证：；
ⅲ) 求二面角的余弦值。
解：(ⅰ证明：∵，
又∵,是的中点，∴，四边形是平行四边形，2分。
∵平面，平面，∴平面4分。
ⅱ) 解法1
证明：∵平面，平面，又，平面，∴平面5分。
过作交于，则平面。
平面6分，∴四边形平行四边形，，，又，四边形为正方形，7分。
又平面，平面，⊥平面8分。
平面，9分。
解法2平面，平面，平面，∴，又，两两垂直5分。
以点e为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系。
由已知得，（0，0，2），（2，0，0），2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），2，2，06分，……7分， …8分。
9分。ⅲ)由已知得是平面的法向量10分。
设平面的法向量为，∵，即，令，得12分。
设二面角的大小为，则13分。
二面角的余弦值为14分。
2011海淀二模）15．在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有。
a．0个b．1个c．2个d．3个。
2011海淀二模）16．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．
(ⅰ)求证：平面；
(ⅱ)求证：平面；
(ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．
ⅰ）证明：设为的中点，连接，则，四边形为正方形，为的中点，为的交点，，
2分，在三角形中4分，∴平面5分。
ⅱ)方法1：连接，∵为的中点，为中点，平面，平面，平面9分。
方法2：由(ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：， 则，，，
平面，平面，平面9分。
高二数学立体几何 2
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高二立体几何数学讲义
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高二数学立体几何答案
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