深圳中学2010-2011学年第一学期期末考试题答案。
年级：高二科目：数学（标准、实验体系（理））命题人：郝变花审题人：郭胜宏
考试时长：90 分钟卷面总分：100 分。
一、选择题(每小题4分，满分32分）
二、填空题（每小题5分，满30分）
三、解答题(本大题共4小题，满分38分)
15.（本小题满分8分）
已知，设命题：函数在上是单调减函数；命题：不等式在上恒成立。若和有且只有一个正确，求的取值范围。
解：若命题为真命题，则1分）
令，当时，
若命题为真命题，则，即3分）
和有且只有一个正确包括为真命题，为假命题；为假命题，为真命题两种情况。
当为真命题，为假命题时，满足，即。（5分）当为真命题，为假命题时，满足，即。（7分）所以满足条件的的取值范围是。（8分）
16.（本小题满分8分）
如果双曲线经过点(6，)，且它的两条渐近线方程是。
求此双曲线的方程；
若该双曲线的弦被点平分，求直线的方程。
解：⑴因为双曲线的两条渐近线方程是。
所以设该双曲线的方程为1分）
又因为该双曲线经过点(6，)
所以2分）所以所求双曲线的方程为3分）
设点的坐标分别为，当直线的斜率不存在时，弦不能被点平分，故设其方程为4分）
联立方程组，消去变量，得。
5分）由题意，得。
6分）解得。 （7分）
所以直线的方程为8分）
方法。二、设点的坐标分别为，则。4分）得。
5分）的中点为，6分）
所以直线的方程为7分）
验证：当直线的方程为时，直线和双曲线有两个交点，符合题意。
（8分）17.（本小题满分10分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，,两点分别是的中点。
求异面直线所成角的余弦值的大小；
求平面与平面锐二面角的余弦值的大小。
解：⑴以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，依题意得。
（1分）2分）
（3分）则 （4分）
所以异面直线所成角的余弦值为。 （5分）
在上述空间直角坐标系中容易得。
设平面和平面的法向量分别为，则，即，
同理，即7分）
取为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，设平面与平面锐二面角的大小为，则。 （9分）所以平面与平面锐二面角的余弦值为10分）
18.（本小题满分12分）
已知中，且三个内角满足。
求点的轨迹的方程；
过点作直线（斜率存在且不为0）与轨迹交于两点，与交于点。若。
问：是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由。
解：⑴由题意和正弦定理得。
即。 （2分）
所以点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆（除去它和长轴的交点）.
所以点的轨迹方程是点4分）（没有写范围扣1分）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为。则。 （5分）设，则。6分）
7分）因为在已知椭圆上，所以8分）
所以。所以10分）
即。因为，否则重合。
所以。 （12分）
方法二、依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为。 则。 （5分）设，联立方程组，消去，得 （7分）8分）又。
且。10分）
将（*）代入上式，得12分）
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