知识点一由简单命题写出复合命题。
分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题：
1)p：是无理数，q：大于1；
2)p：nz，q：0∈n；
3)p：x2＋1>x－4，q：x2＋1解 (1)p∨q：是无理数或大于1；
p∧q：是无理数且大于1；
綈p：不是无理数．
2)p∨q：nz或0∈n；
p∧q：nz且0∈n；
綈p：nz.
3)p∨q：x2＋1≠x－4；
p∧q：x2＋1>x－4且x2＋1綈p：x2＋1≤x－4.
知识点二从复合命题中找出简单命题。
指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题。
1)96是48与16的倍数；
2)方程x2－3＝0没有有理数解；
3)不等式x2－x－2>0的解集是；
4)他是运动员兼教练员．
解 (1)“p且q”形式，其中p：96是48的倍数，q：96是16的倍数．
2)“非p”形式，其中p：方程x2－3＝0有有理数解．
3)“p或q”形式，其中p：不等式x2－x－2>0的解集是，q：不等式x2－x－2>0的解集是．
4)“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员。
知识点三判断含有逻辑联结词的命题的真假。
分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题的真假．
1)p：3>3，q：3＝3；
2)p： ，q：0∈；
3)p：aa，q：a∩a＝a；
4)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有交点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实根．
解 (1)因为p假q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真．
2)因为p真q假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为假．
3)因为p真q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为真，“綈p”为假．
4)因为p假q假，所以“p∨q”为假，“p∧q”为假，“綈p”为真．
知识点四非命题与否命题。
写出下列命题的否定及命题的否命题：
1)菱形的对角线互相垂直；
2)面积相等的三角形是全等三角形．
解 (1)命题的否定：存在一个菱形，其对角线不互相垂直．
否命题：不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直．
2)命题的否定：存在面积相等的三角形不是全等三角形．
否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．
考题赏析。1．(广东高考)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
a．(綈p)∨qb．p∧q
c．(綈p)∧(綈qd．(綈p)∨(綈q)
解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题．
答案 d2．(如皋联考)已知命题：p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.
给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.
上述命题中为真命题的是___
解析 p为真，q为假，故p或q，綈q为真命题．
答案 ②④1．如果命题“非p或非q”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( )
命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；
命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．
abcd．①④
答案 c解析因“p且q”的否定为“綈p或綈q”，即綈(p且q)等价于綈p或綈q，所以“綈p或綈q”是假命题等价于“綈(p且q)”是假命题，即p且q为真命题．故选c.
2．条件p：x∈a∪b，则綈p是( )
a．xa或xbb．xa且xb
c．x∈a∩bd．xa或x∈b
答案 b解析因x∈a∪bx∈a或x∈b，所以綈p为xa且xb，故选b.
3．对于命题p和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：
p或綈q是真命题；
p或綈q是假命题；
綈p且綈q是假命题；
綈p或q是假命题，其中真命题是( )
abcd．②④
答案 c解析因为p且q为真，所以p与q都为真，所以綈p且綈q为假．所以只有①③是真命题，所以选c.
4．若命题“p∧q”为假，且“綈p”为假，则( )
a．p∨q为假b．q假。
c．q真d．不能判断q的真假。
答案 b解析綈p为假，则p为真，又p∧q为假，所以q为假．所以选b.
5．“a≥5且b≥2”的否定是___
答案 a<5或b<2
解析本题考查命题的否定，“p或q”的否定是“綈p且綈q”，“p且q”的否定是“綈p或綈q”．
6．命题p：∈，q：，则下列对复合命题的判断，正确的是填上所有正确的序号)
p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．
答案 ①④解析由题可知p为假，q为真，所以p或q为真，p且q为假，非p为真，非q为假．答案为①④⑤
7．已知p：3－x≤0或3－x>4，q： <1，求p∧q.
解由3－x≤0或3－x>4，解得p：x≥3或x<－1；
由－1<0，即<0，解得q：x<－2或x>3.
所以p∧q：x<－2或x>3.
8．已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围．
解当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞内单调递减；当a＞1时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞内不是单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.若p真q假，则a∈(0,1)∩＝
若p假q真，注意到已知a＞0，a≠1，所以有。
a∈(1，＋∞
综上可知，a的取值范围为∪.
讲练学案部分。
知识点一含逻辑联结词的命题的构成。
将下列命题写成“p∧q”“p∨q”和“綈p”的形式：
1)p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
2)p：能被5整除的整数的个位数一定为5，q：能被5整除的整数的个位数一定为0.
解 (1)p∧q：菱形的对角线互相垂直且平分．
p∨q：菱形的对角线互相垂直或平分．
綈p：菱形的对角线不互相垂直．
2)p∧q：能被5整除的整数的个位数一定为5且一定为0；
p∨q：能被5整除的整数的个位数一定为5或一定为0；
綈p：能被5整除的整数的个位数一定不为5.
反思感悟】 简单命题用联结词“或”、“且”、“非”联结得到的新命题是复合命题，联结后可以综合起来叙述，但综合叙述不能叙述成条件复合的简单命题或叙述成结论复合的简单命题．如(2)中的p∨q不能叙述成：能被5整除的整数的个位数一定为5或0，因为p、q都是假命题，则p∨q也为假命题．
判断下列命题是否是复合命题并说明理由．
1)2是4和6的约数；
2)不等式x2－5x＋6>0的解为x>3或x<2.
解 (1)是“p且q”形式的复合命题，其中p：2是4的约数；q：2是6的约数．
2)是简单命题，而不是用“或”联结的复合命题，因不等式x2－5x＋6>0的解为x>3是假命题，不等式x2－5x＋6>0的解为x<2也是假命题，而命题(2)是真命题，这与p、q都假，则p∨q一定假矛盾．命题“不等式x2－5x＋6>0的解为x>3或解为x<2”是p∨q的形式．
知识点二含逻辑联结词的命题的真假判断。
分别指出下列命题的形式及构成它的命题，并判断真假：
1)相似三角形周长相等或对应角相等；
2)9的算术平方根不是－3；
3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧．
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