南京市金陵中学张松年
问：四种命题关系的教学应注意什么问题？
答：“若p则q”形式的命题才能有四种命题，这里讲的命题是指明确地给出条件和结论的命题．其中，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性了解，重点关注四种命题的相互关系．由于学生在初中数学中，学习过简单的命题（包括原命题与逆命题）知识，因此四种命题形式的教学应从学生学过的、熟悉的命题引入，帮助学生理解四种命题关系．教学时，可以形式化地帮助学生了解两个命题之间的关系：“否命题”和“逆否命题”之间相差一个“逆”字，因此一个命题的否命题和逆否命题之间的关系是互为逆命题；“否命题”和“逆命题”之间相差两个字“逆、否”，因此一个命题的否命题和逆命题之间的关系是互为逆否命题．
将非“若……则……”形式的命题写成“若……则……”的形式，往往具有开放性．如命题“两条平行线的同位角相等”，写成“若……则……”的形式，既可以写成“若两条直线平行，则同位角相等”，也可以写成“若两个角是两条平行线的同位角，则这两个角相等”，这样，四种命题的形式也就不一样了．教学中一般写成第一种形式．一般来说，将能写成“若……则……”的形式写成非“若……则……”形式的命题，往往是性质命题，是“p具有性质q”的形式，可写成“若××是p，则有q”的形式．
根据“若p则q”形式的命题写出其他三种形式的命题，应注意p，q中都不应含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”，并且p与q本身也不是“若r则s”的形式的命题．如果涉及量词，只能是“存在一个”、“有一个”，不能含有“存在两个”、“有些”、“每一个”、“任意”等量词．在学完量词后，可以结合对含有一个量词的命题的否定，适当地写一些含有“存在两个”、“任意”等量词的“若p则q”的其他三种形式的命题，但也只能基于这些命题是具体的数学命题．像命题“若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等”中“三边对应相等”的含义是“每一组对边都相等”，这个命题的否命题：“若两个三角形三边不全对应相等，则这两个三角形不全等”对中学生的要求就比较高了．
互为逆否命题的两个命题的等价性，是反证法的逻辑基础．由于反证法在以后学习“推理与证明”时将进行系统的学习，建议这里不要涉及利用反证法证明数学命题．
问：“若1＜2，则3＜2”是命题吗？
答：在形式逻辑中，“若1＜2，则3＜2”是命题，且是假命题．一般地，对于“若p则q”形式的命题，如果q真，那么不论p是真是假，命题“若p则q”为真；如果q假，p也假，那么命题“若p则q”也为真；如果q假，p真，那么命题“若p则q”为假．总之，“若p则q”形式的命题，只有p真且q假时为假，其他情况下均为真．
在形式逻辑中，对于“若p则q”形式的命题，p，q可以是两个毫无关系的语句，但在数学教学中，我们通常不研究这样的命题．教材中“若p则q”形式的命题，是指p，q之间有实质性关联的命题，至于像“若1＜2，则3＜2”这样的命题不必向学生介绍．
问：充分条件、必要条件的教学应注意什么问题？
答：学习充要条件主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力．本章所讲的充分条件、必要条件与充要条件的知识，主要是与判断“若p则q”形式命题的真假相关的，其中p，q都是有具体数学内涵的语句．当给了明确的p和q时，要说明p是q的充分不必要条件，只要说明“若p则q”是真命题，而且“若q则p”是假命题；要说明p是q的必要不充分条件，只要说明“若q则p”是真命题，而且“若p则q”是假命题；要说明p是q的充要条件，只要说明“若p则q”与“若q则p”都是真命题；要说明p是q的既不充分也不必要条件，只要说明“若p则q”与“若q则p”都是假命题．
下面四点值得在教学中注意：
1）学生对命题“若p则q”为真命题时，称p是q的充分条件是比较容易理解的，但是，对同时称q是p的必要条件就不怎么理解了：q明明是“结论”，怎么成了“条件”了呢？事实上，p和q是两个语句，通过“若p则q”的形式将p和q联结起来形成一个命题，通过对这个命题的真假来判定p，q这两个语句相互之间的关系．“若p则q”为真命题时，p是q的充分条件，不能误认为p是这个命题的充分条件；同样，q是p的必要条件，不是这个命题的必要条件．
2）当给了明确的p和q时，要判断p是q的什么条件，应明确指出是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中的哪一种．例如，在回答“a＞2”是“a2＞4”的什么条件时，应指出前者是后者的“充分不必要条件”，而不能笼统地说“充分条件”．
3）在判断“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”时，应注意：
p是q的充要条件”是指“p是q的充分条件，且p是q的必要条件”；
p的充要条件是q”是指“p的充分条件是q，且p的必要条件是q”．
4）选修1－1和选修2－1在这部分的练习题、习题的安排上是有区别的，选修2－1的第8页练习第2、第3题中都有小题（4），第9页习题1.1中有第5题（探索·拓展），而这些在选修1－1中都没有．这样安排的目的主要是为了体现教学目标的不同．根据新课标的要求，选择选修1－1的同学，只要“会结合具体命题，分析四种命题的关系”；而选择选修2－1的同学，要“结合具体命题，学会判断必要条件、充分条件和必要条件的方法”．练习题、习题的这种安排，是想为学有余力的同学提升发展的空间．
问：简单的逻辑联结词的教学中应注意什么问题？逻辑联结词“或”与日常用语中的“或”有什么异同？
答：对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，使学生正确地表述相关的数学内容．教学时，应通过具体数学命题引出简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”，可以适当结合集合、不等式等有关知识加深学生对“或”、“且”、“非”的理解，明白两个命题可以通过“或”或“且”联结起来，得到一个新的命题．在一个命题前加“非”，是对这个命题进行否定，得到的是一个新的命题．会用“或”、“且”、“非”准确表达、阐述有关几何、代数等数学问题．应注意不要涉及简单命题、复合命题的概念．
作为逻辑联结词的“或”与作为一般连词的“或”是有区别的．作为逻辑联结词的“或”是用来连接两个命题或语句，作为连词的“或”则用来连接两个对象．如在“6是2的倍数或6是3的倍数”中，“或”是逻辑联结词；而在“6是2或3的倍数”中，“或”是一般连词．
或”在日常用语中通常有两种解释，一种解释是“不可兼有”，即“a或b”是指a、b中的一个，但不都是；另一种解释是“可兼有”，即“a或b”是指a、b中的任意一个，或两者都是．而在数学中的解释是“可兼有”，但也要注意“可兼有”并不意味着“一定兼有”．如“xa或xa”中，“或”就是“不可兼有”．
再如，命题“3≥2”的含义是“3不大于2”，由于“3＞2”是真命题，“3＝2”是假命题，所以“3＞2或3＝2”是真命题，从而“3≥2”可以写成“3＞2或3＝2”的形式．
教学时，要帮助学生分析诸如下列两个命题的区别：
方程x2－x－2＝0的实数解是－1或2”；
方程x2－x－2＝0的实数解是－1或方程x2－x－2＝0的实数解是2”．
前者中的“或”是一个一般连词，它联结两个数－1和2，命题是真命题；后者中的“或”是一个逻辑联结词，它联结两个命题：“方程x2－x－2＝0的实数解是－1”和“方程x2－x－2＝0的实数解是2”，由于这两个命题是假命题，所以“方程x2－x－2＝0的实数解是－1或方程x2－x－2＝0的实数解是2”也是假命题．
另外，在教学目标上，选修1－1与选修2－1是有区别的，选修1－1要学生“能准确区分命题的否定与否命题”；选修2－1要学生“知道命题的否定与否命题”．在教学内容上，选修2－1在选修1－1的基础上增加了“p或q”、“p且q”、“非p”三种形式命题的真值表．特别要注意，选修1－1对真值表没有要求．
问：全称量词和存在量词的教学中应注意什么问题？
答：对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义．在全称量词和存在量词的教学中，应注意在不引起误解的前提下，全称量词可以缺省．例如，命题“x2≥0”，缺省了“任意xr”；命题“正方形的四边相等”，缺省了“所有的”．在对一个命题进行否定时，就需要将缺省的量词补出来．
教学中，只要求学生学习“含有一个量词”的命题的否定，可以形式化地给出对“含有一个量词”的命题进行否定的特点：“存在”的否定是“不存在”，“任意……有……”的否定是“存在一个……非……”对“含有逻辑联结词”和多个“量词”的命题的否定不作要求．
问：命题的否定与否命题有什么区别？否命题的教学应注意什么问题？
答：命题的否定与否命题是不同的两个概念．命题的否定是对整个命题进行否定，它与原命题必有一真一假；否命题是四种命题形式中的一种，它是对“若p则q”形式的命题中的条件和结论同时进行否定得到命题——p则非q”，它的真假性与原命题的真假性无必然联系．
教学中，只要求学生学习“含有一个量词”的命题的否定，可以形式化地给出对“含有一个量词”的命题进行否定的特点：“存在”的否定是“不存在”，“任意……有……”的否定是“存在一个……非……”对“含有逻辑联结词”、多个“量词”和“若p则q”形式命题的否定不作要求．
问：如何把握“常用逻辑用语”这一章的教学重点？
答：数学是一门以演绎为主的科学，需要讲究逻辑基础．近年来，将简单的逻辑知识纳入中学数学教材教学，已成为国内外中学数学教材改革的一种趋势．我国从2023年开始，也把“简易逻辑”的内容引进了数学实验教材，经过近20年的教学实践表明，这一知识有利于提高学生运用数学语言准确地表述数学问题的能力和逻辑思维能力．
本章的教学需要注意内容的深度和广度，像命题的概念与分类，不宜像讲授一般逻辑学知识一样，事无巨细，面面俱到．其次要注意高中数学学习的需要，突出对逻辑联结词“或”、“且”、“非”和充分、必要条件以及全称量词、存在量词的学习，而不必在诸如判断一个语句是不是命题，是否是复合形式命题，如何对含有多个量词的命题以及对复合命题进行否定等方面展开讨论．注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性，避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释．
高二数学选修1 1常用逻辑用语
一 常用逻辑用语。1 已知a，b，c r，命题 若a b c 3，则a2 b2 c2 3 的否命题是。2 2014 南通调研 a 2 是 直线 a2 a x y 0和直线2x y 1 0互相平行 的 条件 3 命题 若x，y都是偶数，则x y也是偶数 的逆否命题是 4 a b c 则 x a b 是...
高二数学 选修1 1 常用逻辑用语试卷
一 填空题 1 命题 若a 0,则ab 0 的逆否命题是。2 若x2 3x 2 0是x 1的条件 3 已知a和b是两个命题，如果a是b的充分条件，那么是的条件 4.设命题甲 x 2 3 命题乙 0 x 5 那么甲是乙的条件。5 给定两个命题p q，则可组成四个复合命题 p q p或q p且q 这四个...
高二数学常用逻辑用语
知识点一由简单命题写出复合命题。分别写出由下列各组命题构成的 p或q p且q 非p 形式的复合命题 1 p 是无理数，q 大于1 2 p nz，q 0 n 3 p x2 1 x 4，q x2 1解 1 p q 是无理数或大于1 p q 是无理数且大于1 綈p 不是无理数 2 p q nz或0 n p...