05限时规范特训。
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
a．α⊥且mα b．m∥n，且n⊥β
c．α⊥且m∥α d．m⊥n，且n∥β
解析：a错误，只有m垂直于α与β的交线时，才能得到m⊥β；b正确，这是线面垂直的性质定理；c错误，m与β可能平行，可能相交，m也可能在平面β内；d错误，m与β可能平行，可能相交，m也可能在平面β内．
答案：b2．设b，c表示两条直线，α，表示两个平面，则下列命题正确的是( )
a．若bα，c∥α，则c∥b b．若bα，b∥c，则c∥α
c．若cα，α则c⊥β d．若cα，c⊥β，则α⊥β
解析：a中c与b也有可能异面；b中也有可能cα；c中c不一定垂直于平面β；d中根据面面垂直的判定定理可知d正确．故选d.
答案：d3．[2014·福州月考]设a，b，c，d是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )
a．若ac与bd共面，则ad与bc共面。
b．若ac与bd是异面直线，则ad与bc是异面直线。
c．若ab＝ac，db＝dc，则ad＝bc
d．若ab＝ac，db＝dc，则ad⊥bc
解析：a中，若ac与bd共面，则a，b，c，d四点共面，则ad与bc共面；b中，若ac与bd是异面直线，则a，b，c，d四点不共面，则ad与bc是异面直线；c中，若ab＝ac，db＝dc，ad不一定等于bc；d中，若ab＝ac，db＝dc，可以证明ad⊥bc.
答案：c4．[2014·金版创新]将图(1)中的等腰直角三角形abc沿斜边bc的中线折起得到空间四面体abcd(如图(2))，则在空间四面体abcd中，ad与bc的位置关系是( )
a．相交且垂直 b．相交但不垂直。
c．异面且垂直 d．异面但不垂直。
解析：在图(1)中的等腰直角三角形abc中，斜边上的中线ad就是斜边上的高，则ad⊥bc，翻折后如图(2)，ad与bc变成异面直线，而原线段bc变成两条线段bd、cd，这两条线段均与ad垂直，即ad⊥bd，ad⊥cd，故ad⊥平面bcd，所以ad⊥bc，选c.
答案：c5．如图，正方体abcd－a′b′c′d′的棱长为4，动点e、f在棱ab上，且ef＝2，动点q在棱d′c′上，则三棱锥a′－efq的体积( )
a．与点e、f的位置有关。
b．与点q的位置有关。
c．与点e、f、q的位置都有关。
d．与点e、f、q的位置均无关，是定值。
解析：因为va′－efq＝vq－a′ef＝×(2×4)×4＝，故三棱锥a′－efq的体积与点e、f、q的位置均无关，是定值．
答案：d6．[2014·福建模拟]如图，若ω是长方体abcd－a1b1c1d1被平面efgh截去几何体efghb1c1后得到的几何体，其中e为线段a1b1上异于b1的点，f为线段bb1上异于b1的点，且eh∥a1d1，则下列结论中不正确的是( )
a．eh∥fg
b．四边形efgh是矩形。
c．ω是棱柱。
d．ω是棱台。
解析：若fg不平行于eh，则fg与eh相交，交点必然在b1c1上，与eh∥b1c1矛盾，所以fg∥eh；由eh⊥平面a1abb1，得到eh⊥ef，可以得到四边形efgh为矩形，将ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，c正确；d没能正确理解棱台的定义与题中的图形．
答案：d7．如图所示，abcd－a1b1c1d1是长方体，aa1＝a，∠bab1＝∠b1a1c1＝30°，则ab与a1c1所成的角为___aa1与b1c所成的角为___
解析：∵a1b1∥ab，∴∠c1a1b1是ab与a1c1所成的角是30°，aa1∥bb1，∠bb1c是aa1与b1c所成的角，由已知条件可以得出。
bb1＝a，ab1＝a1c1＝2a，ab＝a，b1c1＝bc＝a.
四边形bb1c1c是正方形，∠bb1c＝45°.
答案：30° 45°
8．[2014·武汉模拟]如图所示，在三棱柱abc－a1b1c1中，aa1⊥底面abc，ab＝bc＝aa1，∠abc＝90°，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是___
解析：连接ab1，易知ab1∥ef，连接b1c交bc1于点g，取ac的中点h，连接gh，则gh∥ab1∥ef.故∠hgb(或其补角)即为ef和bg所成角．设ab＝bc＝aa1＝a，连接hb，在△ghb中，易知gh＝hb＝bg＝a，故两直线所成的角即为∠hgb＝60°.
答案：60°
9．[2014·大连质检]如图所示为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个结论：
点m到ab的距离为；
三棱锥c－dne的体积是；
ab与ef所成的角是。
其中正确结论的序号是___
解析：依题意可作出正方体的直观图，显然m到ab的距离为mc＝，∴正确，而vc－dne＝××1×1×1＝，∴正确，ab与ef所成的角为ab与mc所成的角，即为，③正确．
答案：①②10．[2014·宜宾调研]a是△bcd平面外的一点，e，f分别是bc，ad的中点．
1)求证：直线ef与bd是异面直线；
2)若ac⊥bd，ac＝bd，求ef与bd所成的角．
解：(1)证明：假设ef与bd不是异面直线，则ef与bd共面，从而df与be共面，即ad与bc共面，所以a、b、c、d在同一平面内，这与a是△bcd平面外的一点相矛盾．故直线ef与bd是异面直线．
2)如图，取cd的中点g，连接eg、fg，则eg∥bd，所以相交直线ef与eg所成的角即为异面直线ef与bd所成的角．
在rt△egf中，由eg＝fg＝ac，求得∠feg＝45°，即异面直线ef与bd所成的角为45°.
11．[2014·德阳检测]如图所示，正方体abcd－a1b1c1d1中，a1c与截面dbc1交于o点，ac，bd交于m点，求证：c1，o，m三点共线．
证明：∵c1∈平面a1acc1，且c1∈平面dbc1，c1是平面a1acc1与平面dbc1的公共点．
又∵m∈ac，∴m∈平面a1acc1.
m∈bd，∴m∈平面dbc1，m也是平面a1acc1与平面dbc1的公共点，c1m是平面a1acc1与平面dbc1的交线．
o为 a1c与截面dbc1的交点，o∈平面a1acc1，o∈平面dbc1，即o也是两平面的公共点，o∈直线c1m，即c1，o，m三点共线．
12．直三棱柱abc－a1b1c1的底面为等腰直角三角形，∠bac＝90°，ab＝ac＝2，aa1＝2，e，f分别是bc，aa1的中点．
求(1)异面直线ef和a1b所成的角．
2)三棱锥a－efc的体积．
解：(1)取ab的中点d，连de，df，则df∥a1b，∠dfe(或其补角)即为所求．
由题意易知，df＝，de＝1，ae＝，由de⊥ab，de⊥aa1得de⊥平面abb1a1，de⊥df，即△edf为直角三角形，tan∠dfe＝＝＝dfe＝30°，即异面直线ef和a1b所成的角为30°.
2)va－efc＝vf－aec＝·s△aec·fa＝××
1．[2013·石家庄模拟]如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：
bm与ed平行；②cn与be是异面直线；③cn与bm成60°角；④dm与bn垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是( )
ab．②④c．③④d．②③
解析：画出正方体， 如图所示，易知，①②错误，③④正确．故选c.
答案：c2．[2014·皖南八校联考]点e、f、g分别是正方体abcd－a1b1c1d1的棱ab、bc、b1c1的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是___写出所有真命题的编号)．
以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；
过点f、d1、g的截面是正方形；
点p在直线fg上运动时，总有ap⊥de；
点q在直线bc1上运动时，三棱锥a－d1qc的体积是定值；
点m是正方体的平面a1b1c1d1内的到点d和c1距离相等的点，则点m的轨迹是一条线段．
解析：对于①，三棱锥a－bcc1的四个面都是直角三角形，故①为假命题；对于②，截面为矩形fgd1d，易知其边长不等，故②为假命题；③易证de⊥平面afg，又ap平面afg，故de⊥ap，故③为真命题；④由于bc1∥平面acd1，故三棱锥q－acd1的高为定值，即点q到平面acd1的距离为定值，而底面积s△acd1也为定值，故三棱锥体积为定值，故④为真命题；⑤到d、c1距离相等的点的轨迹为平面a1bcd1(中垂面)，又点m在平面a1b1c1d1中，故点m的轨迹为线段a1d1，故⑤为真命题．
答案：③④3．已知空间四边形abcd中，ab＝cd＝3，e、f分别是bc、ad上的点，并且be∶ec＝af∶fd＝1∶2，ef＝，求ab和cd所成角的余弦值．
解：如图所示，在bd上取点g，使bg∶gd＝1∶2，连接eg、fg.
在△bcd中，∵＝eg∥cd，且ge∶cd＝1∶3，则eg＝1，同理fg∥ab，且fg∶ab＝2∶3，则fg＝2.
eg与fg所成的角即为ab与cd所成的角．
在△efg中，eg＝1，fg＝2，ef＝，由余弦定理得。
cos∠egf＝＝－异面直线所成角θ的范围是0°<θ90°，cosθ≥0.
ab与cd所成角的余弦值为。
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