本章测试。
一、选择题。
1.(2006全国高考ⅱ) 如如图1-1，平面α⊥平面β，a∈α,b∈β，ab与两平面α、β所成的角分别为和。过a、b分别作两平面交线的垂线，垂足为a′、b′则ab∶a′b′=（
如图1-1a2∶1b3∶1c3∶2d4∶3
思路解析：如下图所示，由题意知，∠bab′=,aba′=.
设ab=a,则ab′=acos=a,aa′=asin=a.
在rt△aa′b′中a′b′==a,所以ab∶a′b′=2∶1.
答案：a2.如图1-2（1）中的几何体是由下列图形中的___绕虚线旋转一周得到的。
如图1-2思路解析：a中矩形旋转形成圆柱，b、c中的曲线旋转只能形成侧面，d旋转后形成的圆形既有侧面又有底面，可以形成要求的几何体。
答案：d3.已知球面上的四点p、a、b、c，pa、pb、pc的长分别为，且这三条线段两两垂直，则这个球的直径为（ ）
abcd.
思路解析：由题把pa、pb、pc看成圆内接长方体同一个顶点上的三条棱，于是长方体的对角线就等于球的直径，所以2r=.
答案：a4.斜二测图的轴间角分别为（ ）
a.∠yoz=90°，∠xoy=∠xoz=135°
b.∠xoz=90°，∠xoy=∠yoz=135°
c.∠xoz=90°，∠xoy=∠yoz=120°
d.∠xoz=90°，∠xoy=∠yoz=45°
思路解析：本题直接考查斜二测画法的规则，x轴水平，y轴与x轴成45°角，z轴与x轴垂直，由此可得各角的度数。
答案：d5.中心角为135°，面积为b的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为a，则a∶b等于（ ）
a.11∶8b.3∶8c.8∶3d.13∶8
思路解析：设扇形半径为r，由题得，b=πr2，设圆锥底面半径为r，则2πr=，所以r=r，所以s底=πr2=πr2，所以a=πr2+πr2=πr2，所以。
答案：a6.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（ ）
a.1∶2∶3b.1∶3∶5
c.1∶2∶4d.1∶3∶9
思路解析：画轴截面如下图，则so1=o1o2=o2o，于是o1c∶o2e∶oa=sc∶se∶sa=1∶2∶3.
所以自上而下三个圆锥的侧面积之比s1∶s2∶s3=1∶4∶9
所以，上、中、下三部分侧面的面积之比为1∶3∶5.
答案：b7.圆锥的底面半径是r，高是h，在这个圆锥内有一个内接正方体，则此正方体的棱长等于（ ）
abcd.
思路解析：如下图是圆锥的轴截面，de是内接正方体上底面的对角线，若设正方体棱长为x,则de=x，由三角形相似可得：，从中解出x=.
答案：c8.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角为240°，则该圆锥的体积是 …（
abcd.π
思路解析：设圆锥的底面半径为r,高为h,所以2πr=，所以r=.
利用勾股定理可得h=，所以v圆锥=πr2h=π×2×=π
答案：c9.若球的半径为r，则这个球的内接正方体的全面积等于（ ）
a.8r2b.9r2c.10r2d.12r2
思路解析：球的内接正方体的对角线就是球的直径，由此得（2r）2=3 a2
正方体的棱长为a=，所以正方体的全面积等于6a2=6×()2=8r2.
答案：a10.半径为r的球的表面积为s，其内接等边圆柱及内接等边圆锥的全面积分别为s1、s2，则（ ）
思路解析：设球的半径为r，则s= 4πr2.如下图，在轴截面中，bd=2r，所以ad=ab=r，于是s1=2π·(r)2+2π·r·r=3πr2，同理，s2=π·r)2+π·r·r=πr2.
所以s12=9π2r4，s·s2=4πr2·πr2=9π2r4.
所以s12=s·s2
答案：a11.等边圆锥和它的内切球的体积之比为（ ）
a.9∶4b.9∶5c.3∶2d.12∶5
思路解析：如右图，设球半径为r，则等边圆锥底面半径为r，高为3r，所以圆锥的体积为v圆锥=π·r)2·3r=3πr3.
球的体积为v球=πr3
所以v圆锥∶v球=.
答案：a12.正六棱台的两底面的边长分别为a和2a，高为a，则它的体积为（ ）
a. a3b. a3c. a3d. a3
思路解析：台体的体积为v= (s++s′)h
由题意知h=a，s=，s′= 2a)2=a2.
所以v台=a(a2+a2+a2)= a2.
答案：d二、填空题。
13.(2006天津高考) 如如图1-3所示，在正三棱柱abc—a1b1c1中，ab=1.若二面角cabc1的大小为60°，则点c到平面abc1的距离为。
如图1-3思路解析：如题图所示，取ab的中点o，连结co、c1o，则易知∠coc1为二面角cabc1的平面角。则∠coc1=60°.
过c作ch⊥c1o于h，则ch⊥平面abc1，所以ch为所求的距离。
co=，ch=cosin60°=×
答案： 14.平行于锥体底面的截面截得锥体的体积与原锥体的体积之比为8∶27，则它们的侧面积之比为。
思路解析：平行于底面的截面截得的小锥体的体积与原锥体的体积之比为8∶27，可得截面圆半径∶原锥体底面圆半径=2∶3，小锥体的母线长∶原锥体的母线长=2∶3，所在s小圆锥侧∶s大圆锥侧=4∶9.
答案：4∶9
15.圆台的体积是π cm3，侧面展开图是半圆环，它的两底面半径之比是1∶3，则这个圆台的两底面半径分别是。
思路解析：设圆台的上下底面半径分别为r、3r，高为h，则。
化简可得，所以r3=27，所以r=3，于是3r=9.
答案：3cm，9cm
16.已知棱台两底面面积分别为80 cm2和245 cm2，截得这个棱台的棱锥的高是35 cm，则棱台的体积是。
思路解析：设棱台的高为h,则由相似可得，所以h=15.
所以v棱台=×15×(80+245+)=2 325 cm3
答案：2 325 cm3
三、解答题。
17.如如图1--4所示，正六棱锥的底面周长为24,h是bc的中点，∠sho=60°,求：（1）棱锥的高；
如图1-42）斜高；
3）侧棱长。
思路解析：棱锥中有关量的计算主要是通过解三角形得到的，正棱锥中主要是解直角三角形。
解：正六棱锥的底面周长为24,正六棱锥的底面边长为4.
在正棱锥s—abcdef中，取bc的中点h,连结sh,sh⊥bc,o是正六边形abcdef的中心，连结so.
1）在rt△soh中，oh=bc=,∠sho=60°,so=oh·tan60°=6.
2）同样，在△soh中，斜高sh=2oh=.
3）在rt△soh中，so=6,ob=bc=4,sb=.
18.(2006山东高考) 如如图1--5，已知四棱锥p—abcd的底面abcd为等腰梯形，ab∥cd,ac⊥bd,ac与bd相交于点o，且项点p在底面上的射影恰为o点，又bo=2,po=,pb⊥pd.
如图1-5ⅰ）求异面直线pd与bc所成角的余弦值。
ⅱ）求二面角p-ab-c的大小。
ⅲ）设点m在棱pc上，且=λ，问λ为何值时，pc⊥平面bmd.
思路解析：（ⅰ将所求的两条异面直线的夹角转化成某一个三角形内两条相交线所成的角，再利用已知条件及余弦定理，则结论可得。
ⅱ)利用三垂线定理求二面角。
ⅲ）利用两个直角三角形和已知条件，分别求出pm和mc的长即可。
解：∵po⊥平面abcd，∴po⊥bd.
又pb⊥pd,bo=2,po=，由平面几何知识得：od=1,pd=,pb=.
ⅰ）如下图所示，过d作de∥bc交ab于e，连结pe，则∠pde或其补角为异面直线pd与bc所成的角。
四边形abcd是等腰梯形，oc=od=1,ob=oa=2,oa⊥ob.
bc=,ab=,cd=.
又ab∥dc，∴四边形ebcd是平行四边形。
ed=bc=,be=cd=.
e是ab的中点，且ae=.
又pa=pb=，△pea为直角三角形，pe==2.
在△ped中，由余弦定理得：
cos∠pde=.
故异面直线pd与bc所成的角的余弦值为。
ⅱ）连结oe，由（ⅰ）及三垂线定理知，∠peo为二面角pabc的平面角，sin∠peo=，∴peo=45°.
二面角p-ab-c的大小为45°.
ⅲ）连结md,mb,mo，pc⊥平面bmd,om平面bmd，pc⊥om.又在rt△poc中，pc=pd=,oc=1,po=,∴pm=,mc=，=2，故λ=2时，pc⊥平面bmd.
19.一块长方体木料，长、宽、高分别为8厘米、4厘米、6厘米，把它切削成一个体积最大的圆柱体，求这个圆柱体的体积是多少（π取3.14）?
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