2009届高三数学第二轮复习专题测试八：立体几何。
一）典型例题讲解：
例1两个全等的正方形abcd和abef所在平面相交于ab，m∈ac，n∈fb，且am=fn，求证 mn∥平面bce
命题意图本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识
知识依托解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)线(外)∥面或转化为证两个平面平行
错解分析证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出mn所在平面是一个关键
技巧与方法证法一利用线面平行的判定来证明证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行
证法一作mp⊥bc，nq⊥be，p、q为垂足，则mp∥ab，nq∥ab
mp∥nq，又am=nf，ac=bf，mc=nb，∠mcp=∠nbq=45°
rt△mcp≌rt△nbq
mp=nq,故四边形mpqn为平行四边形。
mn∥pqpq平面bce，mn在平面bce外，mn∥平面bce
证法二如图过m作mh⊥ab于h，则mh∥bc，连结nh，由bf=ac，fn=am，得。
nh//af//be
由mh//bc, nh//be得：平面mnh//平面bce
mn∥平面bce
例2在斜三棱柱a1b1c1—abc中，底面是等腰三角形，ab=ac，侧面bb1c1c⊥底面abc
1)若d是bc的中点，求证 ad⊥cc1；
2)过侧面bb1c1c的对角线bc1的平面交侧棱于m，若am=ma1，求证截面mbc1⊥侧面bb1c1c；
3)am=ma1是截面mbc1⊥平面bb1c1c的充要条件吗？请你叙述判断理由
命题意图本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质
知识依托线面垂直、面面垂直的判定与性质
错解分析 (3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出
技巧与方法本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线
1)证明 ∵ab=ac，d是bc的中点，∴ad⊥bc∵底面abc⊥平面bb1c1c，∴ad⊥侧面bb1c1c∴ad⊥cc1
2)证明延长b1a1与bm交于n，连结c1n
am=ma1，∴na1=a1b1∵a1b1=a1c1，∴a1c1=a1n=a1b1
c1n⊥c1b1∵底面nb1c1⊥侧面bb1c1c，∴c1n⊥侧面bb1c1c
截面c1nb⊥侧面bb1c1c ∴截面mbc1⊥侧面bb1c1c
3)解结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性
过m作me⊥bc1于e，∵截面mbc1⊥侧面bb1c1c∴me⊥侧面bb1c1c，又∵ad⊥侧面bb1c1c ∴me∥ad，∴m、e、d、a共面∵am∥侧面bb1c1c，∴am∥de∵cc1⊥am，∴de∥cc1
d是bc的中点，∴e是bc1的中点∴am=de=aa1，∴am=ma1
例3、在棱长为a的正方体abcd—a′b′c′d′中，e、f分别是bc、a′d′的中点
1)求证四边形b′edf是菱形；
2)求直线a′c与de所成的角；
3)求直线ad与平面b′edf所成的角；
4)求面b′edf与面abcd所成的角
命题意图本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强
知识依托平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角
错解分析对于第(1)问，若仅由b′e=ed=df=fb′就断定b′edf是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明b′、e、d、f四点共面
技巧与方法求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法求二面角的大小也可应用面积射影法
1)证明如上图所示，由勾股定理，得b′e=ed=df=fb′=a,下证b′、e、d、f四点共面，取ad中点g，连结a′g、eg，由egaba′b′知，b′ega′是平行四边形
b′e∥a′g,又a′f dg,∴a′gdf为平行四边形
a′g∥fd，∴b′、e、d、f四点共面故四边形b′edf是菱形
(2)解如图所示，在平面abcd内，过c作cp∥de，交直线ad于p，则∠a′cp(或补角)为异面直线a′c与de所成的角
在△a′cp中，易得a′c=a，cp=de=a,a′p=a
由余弦定理得cosa′cp=故a′c与de所成角为arccos
另法（向量法） 如图建立坐标系，则。
故a′c与de所成角为arccos
(3)解 ∵∠ade=∠adf,∴ad在平面b′edf内的射影在∠edf的平分线上如下图所示
又∵b′edf为菱形，∴db′为∠edf的平分线，故直线ad与平面b′edf所成的角为∠adb′
在rt△b′ad中，ad=a，ab′=a,b′d=a
则cosadb′=
故ad与平面b′edf所成的角是arccos
另法（向量法）
∠ade=∠adf,∴ad在平面b′edf内的射影在∠edf的平分线上如下图所示
又∵b′edf为菱形，∴db′为∠edf的平分线，故直线ad与平面b′edf所成的角为∠adb′，如图建立坐标系，则。
故ad与平面b′edf所成的角是arccos
4)解如图，连结ef、b′d，交于o点，显然o为b′d的中点，从而o为正方形abcd—a′b′c′d的中心
作oh⊥平面abcd，则h为正方形abcd的中心，再作hm⊥de，垂足为m，连结om，则om⊥de，故∠omh为二面角b′—de′—a的平面角
在rt△doe中，oe=a,od=a,斜边de=a,则由面积关系得om=a
在rt△ohm中，sinomh=
故面b′edf与面abcd所成的角为arcsin
另法（向量法） 如图建立坐标系，则。
所以面abcd的法向量为
下面求面b′edf的法向量设，由。
故面b′edf与面abcd所成的角为
例4、如下图，已知平行六面体abcd—a1b1c1d1中，底面abcd是边长为a的正方形，侧棱aa1长为b,且aa1与ab、ad的夹角都是120°
求 (1)ac1的长；
2)直线bd1与ac所成的角的余弦值
命题意图本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题
知识依托向量的加、减及向量的数量积
错解分析注意＜＞=120°而不是60°,＜90°
技巧与方法数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用
bd1与ac所成角的余弦值为
二）巩固练习
一、选择题：
1、 1∥ 2，a，b与 1， 2都垂直，则a，b的关系是（ ）
a、平行 b、相交 c、异面 d、平行、相交、异面都有可能。
2、在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，则( )
a a不和b垂直，但可能a∥b b a可能和b垂直，也可能a∥b
c a不和b垂直，a也不和b平行 d a不和b平行，但可能a⊥b
3、已知直线平面内直线b与c相距6cm且a||b,a与b相距5cm，则a、c相距（ ）a、5cmb、或5cmcd 、或5cm
4、如图，在长方体中，ab=6，ad=4，分别过bc、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，，若，则截面的面积为( )
a. b. c. d. 16
5、一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是。
a) (b) (cd)
6、中心角为135°的扇形，其面积为b，其围成的圆锥的全面积为a，则a：b为（ ）
a．11：8 b．3：8 c．8：3 d．13：8
7、如图，在棱长为2的正方体中，o是底面abcd的中心，e、f分别是、ad的中点，那么异面直线oe和所成的角的余弦值等于( )
a. b. cd
8、正四棱锥p—abcd的底面积为3，体积为e为侧棱pc的中点，则pa与be所成的角为（ ）a） （b） （c） （d）
9、如图，a、b、c是表面积为48π的球面上三点，ab=2，bc=4，∠abc=60°，o为球心，则直线。
oa与截面abc所成的角是（ ）
a．arcsin b．arccos
c．arcsin d．arccos
10、在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是( )
a． b． c． d．
11、正方形abcd边长为2，e、f分别是ab和cd的中点，将正方形沿ef折成直二面角(如图)，m为矩形aefd内一点，如果∠mbe=∠mbc，mb和平面bcf所成角的正切值为，那么点m到直线ef的距离为( )
a b 1 c d
12、如图，已知空间四边形oabc，其对角线为ob、ac、m、n分别是对边oa、bc的中点，点g**段mn上，且分mn所成的定比量为2，现用基向量、、表示向量，设则（ ）
ab．、、cd．、、
二、填空题：
13、正四棱锥中的侧棱长为，底面边长为、e是sa的中点，则异面直线be与sc所成的角为 。
14、已知正三棱柱abc-a1b1c1的底面边长为2cm, 高为4cm，过bc作一个截面，截面与底面abc成60角，则截面的面积是
15、已知∠aob=90°,过o点引∠aob所在平面的斜线oc，与oa、ob分别成°，则以oc为棱的二面角a—oc—b的余弦值等于___
高考数学立体几何
立体几何解答题。1 已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，为的中点，为中点 求证 直线平面 求平面和平面所成的锐二面角的余弦值 2 如图，在矩形abcd中，ab 5，bc 3，沿对角线bd把 abd折起，使a移到a1点，过点a1作a1o 平面bcd，垂足o恰好落在cd上 1 求证 bc a1d...
高考数学立体几何
1.如图，四边形abcd为正方形，pd 平面abcd，pd qa，qa ab pd.i 证明 平面pqc 平面dcq ii 求二面角q bp c的余弦值。2.如图，为多面体，平面与平面垂直，点 段上，都是正三角形。证明直线 求棱锥f obed的体积。3.如图，四棱锥p abcd中，底面abcd为平行...
高考立体几何
立体几何课外拓展。1.已知正三棱锥的底面边长是6，侧棱与底面所成角为60 则此在三棱锥的体积为 2.设l m为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是 填序号 若l m 则l m若l m，m l 则 若l m 则l m若 m，l l m，则l 3.倒置的顶角为60 的圆锥形容器，有一个实...