一、选择题。
答案】d1（四川理3），，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是。
a．，b．，c．，，共面。
d．，，共点，，共面。
答案】b解析】a答案还有异面或者相交，c、d不一定。
2（陕西理5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是。
a． b． c． d．
答案】a3.（浙江理3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是。
答案】d4.（山东理11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①
存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）
视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其。
中真命题的个数是。
a．3b．2
c．1d．0
答案】a5.（全国新课标理6）。在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为。
答案】d6（全国大纲理6）已知直二面角α ι点a∈α，ac⊥ι，c为垂足，b∈β，bd⊥ι，d为垂足．若ab=2，ac=bd=1，则d到平面abc的距离等于。
a． bc． d．1
答案】c7（全国大纲理11）已知平面α截一球面得圆m，过圆心m且与α成二面角的平面β截该球面得圆n．若该球面的半径为4，圆m的面积为4，则圆n的面积为。
a．7 b．9 c．11 d．13
答案】d8（湖南理3）设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为。
a． b．c． d．
答案】b9.（江西理8）已知，，是三个相互平行的平面．平面，之间的距离为，平面，之间的距离为．直线与，，分别相交于，，，那么“=”是“”的。
a．充分不必要条件 b．必要不充分条件。
c．充分必要条件 d．既不充分也不必要条件。
答案】c10（广东理7）如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为。
abcd．11.（北京理16）
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，(ⅰ求证：平面。
ⅱ）若求与所成角的余弦值；
ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长。
证明：（ⅰ因为四边形abcd是菱形，所以ac⊥bd.
又因为pa⊥平面abcd.
所以pa⊥bd.
所以bd⊥平面pac.
ⅱ）设ac∩bd=o.
因为∠bad=60°，pa=pb=2,所以bo=1，ao=co=.
如图，以o为坐标原点，建立空间直角坐标系o—xyz，则。
p（0，—，2），a（0，—，0），b（1，0，0），c（0，，0）.
所以。设pb与ac所成角为，则。
ⅲ）由（ⅱ）知。
设p（0，－，t）（t>0），则。
设平面pbc的法向量，则。
所以。令则。
所以。同理，平面pdc的法向量。
因为平面pcb⊥平面pdc,所以=0，即。
解得。所以pa=
12.（福建理20）
如图，四棱锥p-abcd中，pa⊥底面abcd，四边形abcd中，ab⊥ad，ab+ad=4，cd=，．
i）求证：平面pab⊥平面pad；
ii）设ab=ap．
i）若直线pb与平面pcd所成的角为，求线段ab的长；
ii）**段ad上是否存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等？说明理。
由。本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分。
解法一：i）因为平面abcd，平面abcd，所以，又。
所以平面pad。
又平面pab，所以平面平面pad。
ii）以a为坐标原点，建立空间直角坐标系。
a—xyz（如图）
在平面abcd内，作ce//ab交ad于点e，则。
在中，de=，设ab=ap=t，则b（t，0，0），p（0，0，t）
由ab+ad=4，得ad=4-t，所以，i）设平面pcd的法向量为，由，，得。
取，得平面pcd的一个法向量，又，故由直线pb与平面pcd所成的角为，得。
解得（舍去，因为ad），所以。
ii）假设**段ad上存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等，设g（0，m，0）（其中）
则，由得，（2）
由（1）、（2）消去t，化简得（3）
由于方程（3）没有实数根，所以**段ad上不存在一个点g，使得点g到点p，c，d的距离都相等。
从而，**段ad上不存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等。
解法二：i）同解法一。
ii）（i）以a为坐标原点，建立空间直角坐标系a—xyz（如图）
在平面abcd内，作ce//ab交ad于e，则。
在平面abcd内，作ce//ab交ad于点e，则。
在中，de=，设ab=ap=t，则b（t，0，0），p（0，0，t）
由ab+ad=4，得ad=4-t，所以，设平面pcd的法向量为，由，，得。
取，得平面pcd的一个法向量，又，故由直线pb与平面pcd所成的角为，得。
解得（舍去，因为ad），所以。
ii）假设**段ad上存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等，由gc=cd，得，从而，即。
设。在中，这与gb=gd矛盾。
所以**段ad上不存在一个点g，使得点g到点b，c，d的距离都相等，从而，**段ad上不存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等。
13.（广东理18）
如图5．在椎体p-abcd中，abcd是边长为1的棱形，且∠dab=60，,pb=2,e,f分别是bc,pc的中点．
1） 证明：ad 平面def;
2） 求二面角p-ad-b的余弦值．
法一：（1）证明：取ad中点g，连接pg，bg，bd。
因pa=pd，有，在中，，有为。
等边三角形，因此，所以。
平面pbg又pb//ef，得，而de//gb得ad de，又，所以。
ad 平面def。
2），为二面角p—ad—b的平面角，在。
在。法二：（1）取ad中点为g，因为。
又为等边三角形，因此，从而平面pbg。
延长bg到o且使得po ob，又平面pbg，po ad，所以po 平面abcd。
以o为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线ob，op分别为轴，z轴，平行于ad的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。设。由于。
得。平面def。
取平面abd的法向量。
设平面pad的法向量。由。取。
14.（湖北理18）
如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．
ⅰ）当=1时，求证：⊥；
ⅱ）设二面角的大小为，求的最小值．
本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）
解法1：过e作于n，连结ef。
i）如图1，连结nf、ac1，由直棱柱的性质知，底面abc侧面a1c。
又度面侧面a，c=ac，且底面abc，所以侧面a1c，nf为ef在侧面a1c内的射影，在中，=1，则由，得nf//ac1，又故。
由三垂线定理知。
ii）如图2，连结af，过n作于m，连结me。
由（i）知侧面a1c，根据三垂线定理得。
所以是二面角c—af—e的平面角，即，设。
在中，在。故。
又。故当时，达到最小值；
此时f与c1重合。
解法2：（i）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得。于是。则。
故。ii）设，平面aef的一个法向量为，则由（i）得f（0，4，）
于是由可得。
取。又由直三棱柱的性质可取侧面ac1的一个法向量为，于是由为锐角可得，所以，由，得，即。
故当，即点f与点c1重合时，取得最小值。
15.（湖南理19）
如图5，在圆锥中，已知=，⊙o的直径，是的中点，为的中点．
ⅰ）证明：平面平面；
ⅱ）求二面角的余弦值。
解法1：连结oc，因为。
又底面⊙o，ac底面⊙o，所以，因为od，po是平面pod内的两条相交直线，所以平面pod，而平面pac，所以平面pod平面pac。
ii）在平面pod中，过o作于h，由（i）知，平面。
所以平面pac，又面pac，所以。
在平面pao中，过o作于g，连接hg，则有平面ogh，从而，故为二面角b—pa—c的平面角。在。在。
在。在。
所以。故二面角b—pa—c的余弦值为。
解法2：（i）如图所示，以o为坐标原点，ob、oc、op所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则。
设是平面pod的一个法向量，则由，得。
所以。设是平面pac的一个法向量，则由，得。所以。得。
因为。所以从而平面平面pac。
ii）因为y轴平面pab，所以平面pab的一个法向量为。
由（i）知，平面pac的一个法向量为。
设向量的夹角为，则。
由图可知，二面角b—pa—c的平面角与相等，所以二面角b—pa—c的余弦值为。
16.（辽宁理18）
如图，四边形abcd为正方形，pd⊥平面abcd，pd∥qa，qa=ab=pd．
i）证明：平面pqc⊥平面dcq；
ii）求二面角q—bp—c的余弦值．
解：如图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系d—xyz.
i）依题意有q（1，1，0），c（0，0，1），p（0，2，0）.则。所以。
即pq⊥dq，pq⊥dc.
故pq⊥平面dcq.
又pq平面pqc，所以平面pqc⊥平面dcq. …6分。
ii）依题意有b（1，0，1），设是平面pbc的法向量，则。
因此可取。设m是平面pbq的法向量，则。
可取。故二面角q—bp—c的余弦值为 ……12分。
17.（全国大纲理19）
如图，四棱锥中， ,侧面为等边三角形，．
ⅰ）证明：;
ⅱ）求与平面所成角的大小．
解法一：i）取ab中点e，连结de，则四边形bcde为矩形，de=cb=2，连结se，则。
又sd=1，故，所以为直角。 …3分。
由，得平面sde，所以。
sd与两条相交直线ab、se都垂直。
所以平面sab6分。
ii）由平面sde知，平面平面sed。
作垂足为f，则sf平面abcd，作，垂足为g，则fg=dc=1。
连结sg，则，又，故平面sfg，平面sbc平面sfg。 …9分。
作，h为垂足，则平面sbc。
即f到平面sbc的距离为。
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