空间向量的坐标运算。
一）、基础知识过关（学生完成下列填空题）
1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3、设a＝，b＝
1) a±b2) a3) a·b4) a∥bab
4、直线的方向向量的定义为如何求直线的方向向量？
5、平面的法向量的定义为如何求平面的法向量？
二）典型题型探析。
题型1：空间向量的坐标。
练习1 如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流。
练习2. 在正方体中，求证：是平面的一个法向量。
例题1: 如图3，在正方体abcd-a1b!c1d1中g、e、f分别为aa1、ab、bc的中点，求平面gef的法向量。
空间向量坐标表示夹角和距离公式。
问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？
新知：1. 向量的模：设a＝，则｜a
2. 两个向量的夹角公式：
设a＝，b＝，由向量数量积定义： a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，又由向量数量积坐标运算公式：a·b
由此可以得出：cos＜a,b
知识点1：两直线所成的角（范围：）
1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a与b，那么直线a与b 所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角。
2）用向量法求异面直线所成角。
设两异面直线a、b的方向向量分别为和，问题1： 当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成。
的角与和的夹角的关系？
问题 2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b 所成的角。
与和的夹角的关系？
结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为。
3. 两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点，，则线段ab的长度为：
4. 线段中点的坐标公式：
在空间直角坐标系中，已知点，，则线段ab的中点坐标为。
典型例题。
1. 如图，正方体的棱长为1，分别是的中点，求：
所成角的大小；
所成角的大小；
的长度。变式：如图，正方体中，点m是ab的中点，求与cm所成角的余弦值。
小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算。
以下是平面的法向量。
一、空间向量解决平行、垂直、空间角和空间距离的基本模型。
直线与平面所成的角（范围：）
思考：设平面的法向量为，则与的关系？
练习：正方体的棱长为1，点、分别为、的中点。求直线与平面所成的角的正弦值。
2）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有5种方法。
棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；
面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；
空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4.射影面积法。
.向量法。法向量法。
结论或。归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。
例题4. 在长方体abcd—a1b1c1d1中，ab=2，bc=4，aa1=2,点q是bc的中点，求此时二面角a—a1d—q的大小．
评析；用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的，练习如图5，在底面是直角梯形的四棱锥s—abcd中，ad//bc，∠abc=900，sa⊥面abcd，sa=，ab=bc=1，ad=。
求侧面scd与面sba所成的二面角的大小。
点到平面的距离的求法。
问题：如图a空间一点到平面的距离为，已知平面的一个法向量为，且与不共线，能否用与表示？
分析：过作⊥于o,连结oa,则。d=||
cos∠apo=|cos|
d. =cos|
新知：用向量求点到平面的距离的方法：
设a空间一点到平面的距离为，平面的一个法向量为，则。
d. =试试：在棱长为1的正方体中，求点d到平面adc的距离。
反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解。
典型例题。
例1 已知正方形abcd的边长为4，e、f分别是ab、ad的中点，gc⊥平面abcd，且gc＝2，求点b到平面efg的距离。
小结：求点到平面的距离的步骤：
建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标；
找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离。
两条异面直线间的距离的求法。
例2 如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和，使得，且。已知，求公垂线的长。
变式：已知直三棱柱的侧棱，底面中，，且，是的中点，求异面直线与的距离。
小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量，再在两条直线上分别取一点，则两条异面直线间距离求解。
三、总结提升。
学习小结。
1.空间点到直线的距离公式。
2.两条异面直线间的距离公式。
知识拓展。
用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法。
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 在棱长为1的正方体中，平面的一个法向量为。
2. 在棱长为1的正方体中，异面直线和所成角是。
3. 在棱长为1的正方体中，两个平行平面间的距离是。
4. 在棱长为1的正方体中，异面直线和间的距离是。
5. 在棱长为1的正方体中，点是底面中心，则点o到平面的距离是 .
课后作业 1. 如图，正方体的棱长为1，点是棱中点，点是中点，求证：是异面直线与的公垂线，并求的长。
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