1.已知中，面，，求证：面．
证明1分。又面4分。
面7分。10分。
又。面12分。
2.已知三棱锥s－abc中，∠abc＝90°，侧棱sa⊥底面abc，点a在棱sb和sc上的射影分别是点e、f。求证ef⊥sc。
分析：∵a、e、f三点不共线，af⊥sc，要证ef⊥sc，只要证sc⊥平面aef，只要证sc⊥ae（如图1）。
又∵bc⊥ab，bc⊥sa，∴bc⊥平面sab，sb是sc在平面sab上的射影。
只要证ae⊥sb（已知），∴ef⊥sc。
3.已知正方体，是底对角线的交点。
求证：（１面；(2）面． (14分)
证明：（1）连结，设。
连结， 是正方体是平行四边形。
且2分。又分别是的中点，且。
是平行四边形4分。
面，面。面6分。
2）面7分。
又9分。11分。
同理可证12分。
又。面14分。
4.（本小题满分16 分）
在正方体abcd-a1b1c1d1中， aa1=2,e为棱cc1的中点．
1) 求三棱锥e-abd的体积；
2) 求证：b1d1ae；
3) 求证：ac//平面b1de．
解：（1）平面abd，∴v=
2）连结a1c1，在正方体中。
b1d1a1c1，b1d1cc1， a1c1 cc1=c1
∴b1d1面a1c1ca8’
ae面a1c1ca
b1d1ae10’
（3）解法一：连结ac1，取ac1的中点为h，取ac的中点o，连接ho，ho//ec且ho=ec
四边形hoce为平行四边形，oc//he即ac//he --13’
连接bd1，易知四边形a1bcd1为平行四边形，则h为bd1和a1c的交点。
he平面b1de
ac平面b1de
ac//平面b1de16’
解法二：延长bc与b1e延长线交于f，连df
e为棱cc1中点。
b1c1efce
cf=c1b1=cb
cf//ad且cf=ad
adfc为平行四边形。
ac//df13’
ac平面b1de
df平面b1de
ac//平面b1de16’
5.在直四棱柱abcd－a1b1c1d1中，底面abcd是菱形。 求证：
1)平面b1ac//平面dc1a1;
2)平面b1ac⊥平面b1bdd1.
1)因为abcd－a1b1c1d1是直四棱柱，所以，a1c1//ac，而a1c1平面b1ac，ac平面b1ac，所以a1c1//平面b1ac3分。
同理，a1d//平面b1ac5分。
因为 a1c1、a1d平面dc1a1，a1c1a1d＝a1，所以平面b1ac//平面dc1a17分。
2) 因为abcd－a1b1c1d1是直四棱柱，所以b1b⊥平面abcd9分。
而ac平面abcd，所以ac⊥b1b.
因为底面abcd是菱形，所以ac⊥bd.
因为b1b、bd平面b1bdd1，b1bbd＝b，所以ac⊥平面b1bdd1. …12分。
因为ac平面b1ac，故有平面b1ac⊥平面b1bdd11
6.（本小题满分16分） 如图，正四棱锥p－abcd中，o是底面正方形的中心， e是pc的中点，求证： （1）pa∥平面bde2）平面pac平面bde。
证明：（1）如图，连结oe，在△中，分别是的中点，又
平面bde2）在正四棱锥p－abcd中， 平面abcd， 又且。又。
7.如图，在四棱锥中，，，且db平分，e为pc的中点。
ⅰ）证明 ⅱ）证明。
解析】 证明：设，连结eh，在中，因为ad=cd，且db平分，所以h为ac的中点，又有题设，e为pc的中点，故，又。
所以。2）证明：因为，，所以。
由（1）知，,故。
考点定位】本小题主要考察直线与平面平行。直线和平面垂直。直线和平面所成的角等基础知识，考察空间想象能力、运算能力和推理能力。
8．如图，△abc 为正三角形，ec ⊥平面abc ，bd ∥ce ，ce ＝ca ＝2 bd ，m 是ea 的中点，求证：（1）de ＝da ；（2）平面bdm ⊥平面eca ；（3）平面dea ⊥平面eca。
分析：（1）证明de ＝da ，可以通过图形分割，证明△def ≌△dba。（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。
由（1）知dm ⊥ea ，取ac 中点n ，连结mn 、nb ，易得四边形mnbd 是矩形。从而证明dm ⊥平面eca。
证明：（1）如图，取ec 中点f ，连结df。
ec ⊥平面abc ，bd ∥ce ，得db ⊥平面abc 。
db ⊥ab ，ec ⊥bc。
bd ∥ce ，bd ＝ce ＝fc ，则四边形fcbd 是矩形，df ⊥ec。
又ba ＝bc ＝df ， rt△def ≌rt△abd ，所以de ＝da。
2）取ac 中点n ，连结mn 、nb ， m 是ea 的中点， mn ec。
由bd ec ，且bd ⊥平面abc ，可得四边形mnbd 是矩形，于是dm ⊥mn。
de ＝da ，m 是ea 的中点， dm ⊥ea ．又ea mn ＝m ， dm ⊥平面eca ，而dm平面bdm ，则平面eca ⊥平面bdm。
3）∵ dm ⊥平面eca ，dm平面dea ， 平面dea ⊥平面eca。
点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。
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