【学法导航】
稳定中有所创新，由知识立意转为能力立意。
1） 考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定，以及求线面角、二面角等知识都是重点考查的内容，其中线线角、线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。实行新课程的高考，命题者在求稳的同时注重创新高考创新，主要体现在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查
3）使用，“向量”仍将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是2023年高考命题的重点。
4）支持新课改，在重叠部分做文章，在知识交汇点处命题
典例精析】1， 空间几何体及三视图。
例1．用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则这个几何体的体积最大是 7 cm3．
图1（俯视图图2（主视图）
例2.一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体的体积为。
例4.右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体共有▲ 个．5
例5．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度： cm), 则此几何体的表面积是 。
例 6.矩形abcd中，ab=4，bc=3，沿ac将矩形abcd折成一个直二面角b－ac－d，则四面体abcd的外接球的体积为。
例7.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是 12+4 ．
2.平行与垂直。
例8.已知：正方体，，e为棱的中点．
求证：；求证：平面；⑶求三棱锥的体积。
证明：连结，则//，是正方形，∴．
面，∴．又，∴面．
面，∴，证明：作的中点f，连结．
是的中点，∴，四边形是平行四边形，∴
是的中点，∴，又，∴．
四边形是平行四边形，//
平面面． 又平面，∴面
例9. 多面体中，，，
1）求证：；
2）求证：证明：（1）∵
2）令中点为，中点为，连结、
∵是的中位线。又∵
∵为正。
又∵，四边形为平行四边形
例10．如图四边形是菱形，平面， 为的中点。 求证：
∥平面；
平面平面。
解：证：设 ,连。
⑴ ∵为菱形， ∴为中点，又为中点。
又 , ⑵ ∵为菱形。
又∵， 又 ∴ 又。
3.距离与角。
例11．已知所在的平面互相垂直，且求：
．直线ad与平面bcd所成角的大小；
⑵．直线ad与直线bc所成角的大小；
．二面角a-bd-c的余弦值．
如图，在平面abc内，过a作ah⊥bc，垂足为h，则ah⊥平面dbc，∴∠adh即为直线ad与平面bcd所成的角
由题设知△ahb≌△ahd，则dh⊥bh，ah=dh，∴∠adh=45°
∵bc⊥dh，且dh为ad在平面bcd上的射影，bc⊥ad，故ad与bc所成的角为90°
过h作hr⊥bd，垂足为r，连结ar，则由三垂线定理知，ar⊥bd，故∠arh为二面角a—bd—c的平面角的补角设bc=a,则由题设知，ah=dh=,在△hdb中，hr=a，∴tanarh==2
故二面角a—bd—c的余弦值的大小为
点评】:本题着眼于让学生掌握通性通法。几何法在书写上体现：
“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有或（如图）
特别地时，，；时， ，或。
用两面垂直的性质作垂线，找垂足的位置作出线面角，⑵利用三垂线定理证，⑶利用对称性定义法作二面角
变式与拓展】如图，bcd是等腰直角三角形，斜边cd的长等于点p到bc的距离，d是p在平面bcd上的射影．
.求pb与平面bcd所成角；
.求bp与平面pcd所成的角。
解法】. pd⊥平面bcd，∴bd是pb在平面bcd内的射影，∠pbd为pb与平面bcd所成角，bd⊥bc，由三垂线定理得bc⊥bd，∴bp=cd，设bc=a，则bd=a，bp=cd=a∴在rt△bpd中，
cos∠dbp= ∴dbp=45°, 即pb与平面bcd所成角为45°．
.过b作be⊥cd于e，连结pe，pd⊥平面bcd得pd⊥be，∴be⊥平面pcd，∠bpe为bp与平面pcd所成的角，在rt△bep中，be=a, bp=a,∴∠bpe=30° 即bp与平面pcd所成角为30°
例12.在四棱锥p-abcd中，已知abcd为矩形，pa ⊥平面abcd，设pa=ab=a，bc=2a，求二面角b-pc-d的大小。
解析1.定义法过d作de ⊥pc于e，过e作ef ⊥pc于f，连接fd，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角b-pc-d的平面角。求解二面角b-pc-d的大小只需解△def即可
解法一】过d作de ⊥pc于e，过e作ef ⊥pc于f，连接fd，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角b-pc-d的平面角
在四棱锥p-abcd中， pa ⊥平面abcd且abcd为矩形，∵ad⊥dc∴pd⊥dc
pa=a，ad=bc=2a，∴pd=,pc=,de=,ce=
同理在rt△pbc中，在rt△efc中，fc=, 在rt△dfc中，df=,在△def中由余弦定理cos=
所求二面角b-pc-d的余弦值为
解析2.垂面法易证面pab⊥面pbc，过a作am ⊥bp于m，显然am ⊥面pbc，从而有am ⊥pc，同法可得an ⊥pc，再由am与an相交与a得pc ⊥面amn。设面amn交pc于q，则为二面角b-pc-d的平面角；再利用三面角公式可解。
解法二】略
解析3.利用三垂线求解把四棱锥p-abcd补成如图的直三棱柱pab-edc，显然二面角e-pc-d与二面角d-pc-b互补，转化为求二面角e-pc-d。
易证面peda ⊥pdc，过e作ef ⊥ pd于f，显然pf ⊥面pdc，在面pce内，过e作eg ⊥pc于g，连接gf，由三垂线得gf⊥ pc 即为二面角e-pc-d的平面角，只需解△efg即可
解析4.在面pdc内，分别过d、b作de ⊥pc
于e，bf ⊥pc于f，连接ef即可。
利用平面知识求bf、ef、de的长度，再利用空间余弦定理求出即可。
点评】.用几何法求二面角的方法比较多，常见的有：
1）定义法， 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析１
2）三垂线求解 ,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析２
3）垂面法， 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析３
用几何法将二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：①直接利用定义，图(1).②利用三垂线定理及其逆定理，图 (2).最常用。③作棱的垂面，图(3).
4.空间几何中的向量方法。
例13. 如下图，直棱柱abc—a1b1c1的底面△abc中，ca=cb=1，∠bca=90°，棱aa1=2，m、n分别是a1b1、a1a的中点。
1）求bn的长；
2）求异面直线ba与1cb1的余弦值；
3）求证：a1b⊥c1m.
解法】：∵ac⊥bc,cc1⊥面abc，可以建立如图所示的坐标系。
1）依题意得b（0， 1，0），n（1，0，1），｜
2）a1（1，0，2），b（0，1，0），c（0，0，0），b1（0，1，2），=1,-1,2)，=0，1，2），·3，｜｜
cos〈，〉
所以，异面直线ba与1cb1的余弦值为。
3）证明：c1（0，0，2），m（，，2），
(-1,1,-2)，=0），∴0，∴a1b⊥c1m.
点评】底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件，可以用两点间的距离公式，数量积的夹角公式，用坐标法求点点距、向量夹角。特别注意异面直线角的范围(0,],而向量角的范围为[0,π]
变式与拓展】在三棱锥s—abc中，∠sab=∠sac=∠acb=90°，ac=2，bc=，sb=.
1）求证：sc⊥bc；
2）求sc与ab所成角的余弦值。
解法一】：如下图，取a为原点，ab、as分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有ac=2，bc=，sb=，得b（0，，0）、s（0，0，2）、c（2，，0）， 2，，－2），=2，，0）.
1）∵·0，∴sc⊥bc.
2）设sc与ab所成的角为α，∵0，，0），·4，||4，∴cosα=，即为所求。
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