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向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。
这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键
在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力
因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性
专题综合】1.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理
例1. (2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（
a.(－15,12) b.0 c.－3 d.－11
解：(a+2b)，(a+2b)·c ，选c
点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字
例2、(2008广东文)已知平面向量，且∥，则=（
a．（-2，-4） b. （3，-6） c. （4，-8） d. （5，-10）
解：由∥，得m＝－4，所以，
（2，4）＋（6，－12）＝（4，－8），故选（c）。
点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆
例3．（1）如图所示，已知正六边形abcdef，o是它的中心，若=，=试用，将向量，，，表示出来。
1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可
因为六边形abcdef是正六边形，所以它的中心o及顶点a，b，c四点构成平行四边形abco，所以，=＋由于a，b，o，f四点也构成平行四边形abof，所以=＋=2+，同样在平行四边形 bcdo中2，＝＝
点评：其实在以a，b，c，d，e，f及o七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。
例4．已知中，a(2,－1)，b(3,2)，c(－3,1),bc边上的高为ad，求。
解析：设d(x,y)，则。
得。所以。
2. 向量与三角函数的综合问题
例5、（2008深圳福田等）已知向量 ,函数。
1)求的最小正周期； (2)当时， 若求的值．
解：(1) .
所以，t＝.
2) 由得，
点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点。
例6、（2007山东文）在中，角的对边分别为．
1）求； 2）若，且，求．
解：（1）
又解得．，是锐角． ．
2）由。又。
点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。
3. 平面向量与函数问题的交汇
例7．已知平面向量a＝(，1)，b＝(,
1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；
2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间
解：（1）法一：由题意知x＝(,
y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y
故x · y＝×（t－k）＋×t＋k)＝0
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，1)，b2，＝1且a⊥b
x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t
2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝t3－,令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞1）和（1，＋∞
归纳] 第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。
变式] 已知平面向量＝(，1)，＝若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋(sinα－3), k＋(sinα),且⊥，试求实数k 的取值范围。
点拨] 将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。
解：仿例3（1）解法（二）可得。
k＝( sinα－)2－,而－1≤sinα≤1,
当sinα＝－1时，k取最大值1； sinα＝1时，k取最小值－.
又∵k≠0 ∴k的取值范围为 .
4. 平面向量在平面几何中的应用。
例8、如图在rtabc中，已知bc=a，若长为2a的线段pq以a为中点，问与的夹角取何值时， 的值最大？并求出这个最大值
解：以直角顶点a为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|ab|=c，|ac|=b，则a（0，0），b（c，0），c（0，b）.
且|pq|=2a，|bc|=a.设点p的坐标为（x，y），则q（-x，-y），
cx-by=a2cos.∴=a2+ a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0.
点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。
例9、已知a、b为抛物线(p>0)上两点，直线ab过焦点f，a、b在准线上的射影分别为c、d，1） 若，求抛物线的方程。
2） cd是否恒存在一点k，使得。ya
f p b x o
dk c 解：（1）提示：记a（）、b （）设直线ab方程为代入抛物线方程得。
2）设线段ab中点p在在准线上的射影为t，则。
故存在点k即点t，使得
实质：以ab为直径的圆与准线相切]
变式]（2004全国湖南文21）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点p（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于a，b两点，点q是点p关于原点的对称点。设点p分有向线段所成的比为，证明：；
解：依题意，可设直线ab的方程为代入抛物线方程得
设a、b两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根。
所以 由点p（0，m）分有向线段所成的比为，得。
又点q是点p关于原点的对称点，
故点q的坐标是（0，－m），从而。
所以 专题突破】
一、选择题
1．（2023年湖北卷文⑵）已知点m1（6，2）和m2（1，7），直线y=mx－7与线段m1m2的交点分有向线段m1m2的比为3：2，则的值为。
abcd．4
2．（2023年福建卷理⑻）已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是 （
abcd．3．已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（）则向量与向量的夹角的范围为。
a．［0，］ b．［，c．［，d．［，
4．设坐标原点为o，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于a，b两点，则·=
abc．3d．－3
5． o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足=+λ则点p的轨迹一定通过△abc的（ ）a．外心 b．内心c．重心 d．垂心
6．已知平面上直线l的方向向量e=（,点o（0，0）和a(1, －2)在上的射影分别是o/和a/，则，其中λ=（
平面向量复习卷
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