2013级期末复习专题7——平面向量（2）
自主梳理。1．向量数量积的定义。
1)向量数量积的定义其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影．
2)向量数量积的性质：
如果e是单位向量，则a·e＝e·a
非零向量a，b，a⊥b
a·a或|a
cos〈a，b
|a·b|__a||b|.
2．向量数量积的运算律。
1)交换律：a·b
2)分配律：(a＋b)·c
3)数乘向量结合律：(λa)·b
3．向量数量积的坐标运算与度量公式。
1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b
2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b
3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则|acos〈a，b
4)若a（x1，y1），b（x2，y2），则所以。
4．三角形的四个心。
重心———三角形中三条中线的交点。
垂心———三角形中三条高线的交点。
外心———三角形中三条中垂线的交点（外接圆圆心）
内心———三角形中三条角平分线的交点（内切圆圆心）
课前热身。1.（2010·湖南）在rt△abc中，∠c=90°,ac=4,则·等于。
a．－16b．－8c．8d．16
2．(2010·重庆)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b
a．0b．2c．4d．8
3．(2011·福州月考)已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则λ等于。
a．－2b．2cd．－
4.（2009·天津）若等边△abc的边长为2，平面内一点m满足＝＋，则。
**点一向量的模及夹角问题。
例1 (2011·马鞍山月考)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；
3）若＝a，＝b，求△abc的面积．
变式迁移1 (1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是 (
a．1b．2cd.
2)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，实数λ的取值范围为___
**点二两向量的平行与垂直问题。
例2 已知a＝(cos α，sin α)b＝(cos β，sin β)且ka＋b的长度是a－kb的长度的倍(k>0)．
1)求证：a＋b与a－b垂直；
2)用k表示a·b；
3)求a·b的最小值以及此时a与b的夹角θ.
变式迁移2 (2009·江苏)设向量a＝(4cos α，sin α)b＝(sin β，4cos β)c＝(cos β，4sin β)
1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋的值；
2)求|b＋c|的最大值；
3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
**点三向量的数量积在三角函数中的应用。
例3 已知向量a＝，b＝，且x∈.
1)求a·b及|a＋b|；
2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
变式迁移3 （2010·四川）已知△abc的面积s=··3，且cos b＝，求cos c.
**点四三角形的“心”
例4**点五综合问题。
课后练习】1．(2010·重庆)若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为。
ab. c．2d．6
2．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为 (
a．－6b．－3
c．3d．6
3.已知△abc中，＝a，＝b，a·b<0，s△abc＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠bac等于 (
a．30b．－150°
c．150d．30°或150°
4．(2010·湖南)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为 (
a．30b．60°
c．120d．150°
5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为。
ab. cd.
6．(2010·湖南长沙一中月考)设a＝(cos 2α，sin α)b＝(1，2sin α－1)，α若a·b＝，则sin
7．(2010·广东金山中学高三第二次月考)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为___
8．已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m夹角为，且m·n＝－1，则向量n
9.已知＝(2,5)，＝3,1)，＝6,3)，**段oc上是否存在点m，使⊥，若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由．
10． 2011·杭州调研)已知向量a＝(cos(－θsin(－θb＝(cos，sin)．
1)求证：a⊥b；
2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb，满足x⊥y，试求此时的最小值．
答案自主梳理。
1．(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 (2)①|a|cos〈a，e〉 ②a·b＝0 ③|a|2 ④
≤ 2.(1)b·a
2)a·c＋b·c (3)λ(a·b) 3.(1)a1b1＋a2b2 (2)a1b1＋a2b2＝0 (3)
4)(x2－x1，y2－y1)
自我检测。2．b [|2a－b|＝
3．d [由(a＋λb)·b＝0得a·b＋λ|b|2＝0，1＋2λ＝0，∴λ
解析合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设c(0,0)，a(2，0)，b(，3)，这样利用向量关系式，求得＝，＝所以·＝－2.
课堂活动区。
例1 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，a·b＝－6.
cos θ＝
又0≤θ≤2)|a＋b|＝
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