【考点聚焦】
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
自我检测】1 方程sin(x–)=x的实数解的个数是( b )
a 2 b 3 c 4 d 5
2. （2005福建）设的最小值是 （ c ）
a． b． c．－3 d．
3 已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜则实数a、b、α、的大小关系为( )
a α＜a＜bb α＜a＜β＜b
c a＜α＜bd a＜α＜b
4. (2024年湖南）若圆上至少有三个不同点到直线：的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是 ( b )
a.b.c.[ d.
重点难点热点】
问题1 利用函数的图象、方程的图形数形结合。
例1．在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x这四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使f（）＞恒成立的函数的个数是 （ b ）
a．0 b．1 c．2d．3
解析】 用图像法，只有上凸函数才满足题意，即只有y=log2x才满足上式，故选b．
例2 已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）．
1）求函数f（x）的表达式；
2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解．
分析】 用数形结合思想求f（x）－f（a）=0解的个数．
解】 （1）由已知，设f1（x）=bx2，由f1（x）=1， 得b=1．∴f1（x）=x2．
设f2（x）=（k＞0），则其图象与直线y=x的交点分别为a（k，k），b（－k，－k），由|ab|=8，得k=8，
f2（x）=，故f（x）=x2+．
2）由f（x）=f（a），得x2+=a2+，
即=－x2+a2+．
在同一坐标系内作出f2（x）=和f3（x）=－x2+a2+的大致图象（如图所示），其中f2（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第。
一、三象限的双曲线，f3（x）的图象是以（0，a2+）为顶点，开口向下的抛物线．f2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点，即f（x）=f（a）有一个负数解．
又∵f2（2）=4，f3（2）=－4+a2+，当a＞3时，
f3（2）－f2（2）=a2+－8＞0，
当a＞3时，在f3（x）第一象限的图象上存在一点（2，f3（2））在f2（x）图象的上方．
f2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解．
故方程f（x）=f（a）有三个实数解．
评析】 用数形结合思想，可把一个较复杂的问题转化为一个较简单的问题．
演变1：函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈［0,2］的图象与直线y=k有且仅有2个不同的交点，则k的取值范围1点拨与提示：f（x）=sinx+2|sinx|，x∈［0,2］=
问题2 利用方程的图形数形结合。
例3： 分析：
选d演变1.
分析：构造直线的截距的方法来求之。
截距。问题3 利用几何意义转化、构造。
例4．已知α、β均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证：tanα+tanβ+
tanγ≥。
命题意图：本题主要考查三角——几何——代数间的转化，以及代数不等式的证明。
证明：由已知条件作长方体abcd—a1b1c1d1，如图，使∠c1ad=α，c1ab=β，c1aa1=γ，设ad=a，ab=b，aa1=c，则：tanα=，tanβ=，tanγ=
tanα+tanβ+tanγ=≥
故tanα+tanβ+tanγ≥
点评：(1)还可将已知条件改为sin2α+sin2β+sin2γ=2；
2)运用此模型，还可设α、β分别为ac1与c1b、c1a1、c1d所成的角，则cos2α
cos2β+cos2γ=2(或sin2α+sin2β+sin2γ=1)。
例5．求函数的最大值。
解：由定义知1-x2≥0且2+x≠0
-1≤x≤1，故可设x=cosθ，θ0，π]则有可看作是动点m（cosθ，sinθ）(0，π]与定点a（-2，0）连线的斜率，而动点m的轨迹方程，θ∈0，π]即x2+y2=1（y∈[0，1]是半圆。
设切线为at，t为切点，|ot|=1，|oa|=2，∴0≤kam≤
即函数的值域为[0，]，故最大值为。
点评：1、有些代数式经变形后具备特定的几何意义，此时可考虑运用数形结合求解，如：比值——可考虑与斜率联系；根式——可考虑与距离联系；二元一次式——可考虑与直线的截距相联系。
2、本题也可如下转化：令y=，x=2+x，则(x+2)2+y2=1（y≥0），求的最大值，即求半圆(x-1)2+y2=1（y≥0）上的点与原点连线斜率的最大值，易知。
演变1 解法一（代数法）：，解法二（几何法）：
演变2 分析：
转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。
解： 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）
相切于第一象限时，u取最大值。
专题小结。利用数形结合思想解决问题，要注意数与形的完整结合，由数想形时，一定要准确、全面，特别是图形一定要准确．
数形结合常用的辅助工具：数轴(直角坐标系)、两点间距离公式、向量的模，函数的图象，曲线的方程，直线的斜率、截距，二元一次不等式表示平面区域等．
临阵磨枪】一、选择题：
1．方程的实根的个数为（ c ）
a．1个 b．2个c．3个d．4个。
2．函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ d ）
ab． cd．
3．（2005福建）是定义在r上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ d
a．2 b．3 c．4 d．5
4．（2024年江西）p是双曲线的右支上一点，m、n分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|pm|－|pn|的最大值为（ d ）
a. 6b.7c.8d.9
5．定义在r上的函数上为增函数，且函数的图象的对称轴为，则（ a ）
a． b． c． d．
6．（2005江西）在△oab中，o为坐标原点，，则当△oab的面积达最大值时，（ d ）
a． b． c． d．
7．如图所示，b地在a地的正东方向4km处，c地在b地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸pq（曲线）上任意一点到a的距离比到b的距离远2km．现要在曲线pq上选一处m建一座码头，向b、c两地转运货物．经测算，从m到b、m到c修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是 （b）
a．（2－2）a万元 b．5a万元。
c．（2+1）a万元 d．（2+3）a万元
8. （2005辽宁）已知是定义在r上的单调函数，实数， ，若，则（ a ）
a． b． c． d．
9．（2024年江西）若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是（ c ）
a．0 b. –2 c.- d.-3
10．（2024年福建卷）已知双曲线的右焦点为f，若过点f且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ c ）
（a） （b） （c） （d）
二、填空题：
11. 若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___
12. 函数的最小值为。
13．若集合，集合，且。
则实数的取值范围是。
14．（2005上海）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是。
15．（ 2024年浙江）对a,br,记max|a,b|=函数f（x）＝max||x+1|,|x-2||(xr)的最小值是 3/2 .
16．（2024年四川）如图，把椭圆的长轴。
分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部。
分于七个点，是椭圆的一个焦点，则。
三、解答题：
17． 若方程上有唯一解，求m的取值范围。
18．若不等式≥x+11-a的解集为，求实数a的值。
19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）0，0≤φ≤是r上的偶函数，其图象关于点m（，0）对称，且在区间［０，上是单调函数．求φ与ω的值．
20．(2006湖南)已知函数。
（ｉ）讨论函数的单调性；
（ⅱ）若曲线上两点a、b处的切线都与y轴垂直，且线段ab与x轴有公共点，求实数a的取值范围。
21．（2006安徽）如图，f为双曲线c：的右焦点。p为双曲线c右支上一点，且位于轴上方，m为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。
ⅰ）写出双曲线c的离心率与的关系式；
ⅱ）当时，经过焦点f且平行于op的直线交双曲线于a、b点，若，求此时的双曲线方程。
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