2007-2011江苏高考数学立体几何考题评析。
2024年立体几何注：当年全卷共21道题 10道选择题 6道填空题 5道解答题。
分数5+5+12=22分。
4．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：
其中正确命题的序号是（ ）
a．①、b．②、c．①、d．②、
解析】②中，有可能是异面直线；③中，有可能在上，都不对，故选（c）
14．正三棱锥的高为2，侧棱与底面abc所成角为，则点到侧面的距离是 .
解析】如图，∠pbo＝45°，po＝ob＝2，od＝1，bd＝，pb＝，pd＝，ad＝3，得ae＝.
18．如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，1）求证：四点共面；（4分）
2）若点在上，，点在上，垂足为，求证：面；（4分）
3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求．（4分）
解析】本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运。
算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．
解法一：1）如图，在上取点，使，连结，则，．，四边形，都为平行四边形．
从而，．又∵，∴四边形是平行四边形，由此推知，从而．
四点共面．2）如图，，又，∴，为平行四边形，从而．
又∵平面，∴平面．
3）如图，连结．，∴平面，得．
是所求的二面角的平面角，即．，．
解法二：1）建立如图所示的坐标系，则，，，共面．
又∵它们有公共点，四点共面．
2）如图，设，则，而，由题设得，解得．，有，又，，，从而，．
平面．3）设向量截面，于是，．
而，，得，解得，，∴
又平面，和的夹角等于或（为锐角）．于是．
2024年立体几何注：从这一年开始正卷共20道题 14道填空题 6道解答题。
附加题卷4选2，加2道解答题，共4道题每题10分共40分。
分数14+10＝24分。
16．如图，在四面体中，，点分别是的中点．
求证：（1）直线面；（2）平面面．
解析】（1）∵e，f分别是的中点．
ef是△abd的中位线， ∴ef∥ad，ef∥平面acd，ad平面acd，直线ef∥平面acd；
2）∵ad⊥bd，ef∥ad， ∴ef⊥bd，cb=cd，f是bd的中点，cf⊥bd；
又∵ef∩cf=f，∴bd⊥平面efc，bd平面bcd， ∴平面平面．
22．【必做题】如图，设动点p在棱长为1的正方体的对角线上，记；当为钝角时，求的取值范围．
解析】由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，
由，得，；显然不是平角，∴为钝角等价于：
则等价于；即：，得；
的取值范围是．
2024年立体几何。
分数5+5++14=24分。
8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间。
内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为。
解析】考查类比的方法．体积比为1：8．
12．设和为不重合的两个平面，给出下列命题：
1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；
2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；
3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；
4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题的序号写出所有真命题的序号）
解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理．
真命题的序号是（1）（2）．
16．如图，在直三棱柱中，分别是。
的中点，点d在上，；
求证：（1）ef∥平面abc；
2）平面平面．
解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．
证明：（1）∵e、f分别是的中点，ef∥bc，又ef平面abc，bc平面abc，ef∥平面abc．
2）∵直三棱柱，∴平面，；
又∵，∴平面；
又∵平面，∴平面平面．
2024年立体几何分数14分。
16．如图，在四棱锥p-abcd中，pd⊥平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，ab∥dc，∠bcd=90；
1）求证：pc⊥bc；
2）求点a到平面pbc的距离．
解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置。
关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、
推理论证能力和运算能力．
1）证明：∵pd⊥平面abcd，bc平面abcd，∴pd⊥bc；
由∠bcd=90°，得cd⊥bc；
又∵pddc=d，pd、dc平面pcd，∴bc⊥平面pcd；
pc平面pcd，∴pc⊥bc．
2）（方法一）分别取ab、pc的中点e、f，连de、df，则有：de∥cb，de∥平面pbc，∴点d、e到平面pbc的距离相等．
又点a到平面pbc的距离等于e到平面pbc的距离的2倍；
由（1）知：bc⊥平面pcd，∴平面pbc⊥平面pcd于pc，pd=dc，pf=fc；∴df⊥pc；∴df⊥平面pbc于f．
df=，∴点a到平面pbc的距离等于．
方法二）体积法：连结ac．设点a到平面pbc的距离为h．
ab∥dc，∠bcd=90，∴∠abc=90．
ab=2，bc=1，从而得的面积．
由pd⊥平面abcd及pd=1，得三棱锥p-abc的体积：．
pd⊥平面abcd，dc平面abcd，∴pd⊥dc．
又pd=dc=1，所以；
由pc⊥bc，bc=1，得的面积：．
由，，得，故点a到平面pbc的距离等于．
2024年立体几何。
分数14+10＝24分。
16．如图，在四棱锥中，平面pad⊥平面abcd，ab=ad，∠bad=60°，e、f分别是ap、ad的中点；
求证：（1）直线ef∥平面pcd；
2）平面bef⊥平面pad．
解析】（1）∵e、f分别是ap、ad的中点，又；
直线ef∥平面pcd．
2）， f是ad的中点，；
又∵平面pad⊥平面abcd，且；
∴平面bef⊥平面pad．
22．【必做题】如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为；
1）当时，求的长；
2）当时，求的长．
解析】以d为原点，为x轴正半轴，为y轴正半轴，为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，则a(1，0，0)，a1(1，0，2)，n(，1，0)，c(0，1，0) )设m(0，1，z)，设平面mdn的法向量为，设面a1dn的法向量为，则，；取，即．
1）由题意可得：；
取；2）由题意可得：；取；
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