经典讲解立体几何垂直与平行习题。
1．如图，三棱柱的所有棱长都相等，且底面，为。
的中点，与相交于点，连结，1） 求证：平面；（2）求证：平面。
2．已知某几何体的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，设d为aa1的中点。
1）作出该几何体的直观图并求其体积；
2）求证：平面平面；
3）边上是否存在点，使平面？
若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。
3．如图，在底面是正方形的四棱锥中，，。
1）证明平面；
2）已知点在上，且，点为棱。
的中点，证明平面；
3）求四面体的体积．
4．如图所示，四边形为矩形，平面，为上的点，，为上的点，且平面
1）求证：平面；
2）求证：平面；
3）求三棱锥的体积。
5.如图，正四棱柱的侧棱长为，底面边长为，是棱的中点。
1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积。
6. 如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点，1）求证：面；（2）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；（3）求三棱锥的体积。
7. 如图，在矩形中，，、分别。
为线段、的中点，⊥平面。
1）求证：∥平面；
2）求证：平面⊥平面；
3）若，求三棱锥的体积。
8. 如图（1）是一正方体的表面展开图，和是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将和画出来，并就这个正方体解决下面问题。
1）求证：平面； （2）求证：平面；
3）求和平面所成的角的大小（选做）．
1．证明：（1）取的中点，连结、，可以证明，故平面。
（2）由题意四边形是正方形，则。连结、，易证得≌，故，又为的中点，故，∴平面
2（1）解：由题意可知该几何体为直三棱柱，其直观图（略）
几何体的底面积，高，故几何体的体积
（2）证明：连结交于点，则为与的中点，连结。，≌
同理，∴平面，∴平面⊥平面。
（3）解：取的中点，连结，则平面，下面加以证明：
连结，则与平行且相等， 四边形为平行四边形，∴，平面。
3．（1）证明：因为在正方形中。
可得在中，。
所以，同理可得，故平面
（2）取中点，连接，连接交于，连接，、分别是、的中点，平面，
又是的中点，故，平面，故平面平面。
平面 （3）连接，则，因为平面，则平面。
所以，又的面积为，故四面体的体积．
4．（1）证明：∵平面，平面，则
又平面，则[**：学科网zxxk]
平面 2）证明：由题意可得是的中点，连接。
平面，则，而，是中点。
在中，，平面。
3）解：平面，而平面，平面。
是中点，是中点，且，平面，中，5．（1）证明：连接交于，连结，在正四棱柱中，底面四边形为矩形，∴为的中点。[**：z&xx&
又为的中点，故。∴平面。
（2）连结，，又的面积为。
故三棱锥的体积。
6. （1）证明：连结、交于点，再连结，
且， 又，故且，四边形是平行四边形，故，平面。
2）平面，下面加以证明：
在底面菱形中，
又平面，面，平面，平面。
3）过点作，垂足，平面，平面，平面，在中，，，故，7. （1）证明：在矩形中，与平行且相等，故四边形为平行四边形。
故，故平面。
2）证明： ∵平面，平面，∴.为的中点，∴.连结，
四边形为正方形，故。∴平面。
平面。 ∴平面⊥平面。
3）解：∵⊥平面 ∴为三棱锥的高，所以。
8. 解：和的位置如右图所示；
1）由与平行且相等，得四边形为平行四边形。
平面，故平面。
2）∵平面，平面，∴
又在正方形中，故平面，平面，故，同理可得，故平面。
3）连结交于点，由，得平面，连结，则为和平面所成的角。
在中，故。即和平面所成的角为。
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