【专题概述】
第一讲空间几何体。
一体验高考。
1.(2024年高考福建卷，理4)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( d )
a)球 (b)三棱锥 (c)正方体 (d)圆柱。
解析：分别比较选项a、b、c的三视图不符合题干要求，选项d符合。
2.(2024年高考广东卷，理6)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( c )
a)12π (b)45π (c)57π (d)81π
解析：由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观图如图所示。
圆锥的底面半径为3,高为4,圆柱的底面半径为3,高为5,v=v圆锥+v圆柱=sh1+sh2
57π.故选c.
3.(2024年高考安徽卷，理12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 .
解析：由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示).
在四边形abcd中，作de⊥ab,垂足为e,则de=4,ae=3,则ad=5.
所以其表面积为：2××(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+4×4=92.
答案：924.(2024年高考辽宁卷，理16)已知正三棱锥pabc,点p,a,b,c都在半径为的球面上，若pa,pb,pc两两相互垂直，则球心到截面abc的距离为 .
解析：法一：如图，设pa=a,m为△abc中心，则ab=a,即正三棱锥pabc侧棱长为a,底面边长为a,则cn=a,cm=a,pm=a.
设球的半径为r,所以(a-r)2+(a)2=r2,将r=代入上式，解得a=2,所以球心到截面abc的距离d=-=
法二：由点p、a、b、c在半径为的球面上。pa、pb、pc两两互相垂直，所以正三棱锥pabc可看正方体一部分，设棱长为a,则3a2=12,a=2,则ab=bc=ca=2,nc=.
mc=,则pm=.
所以球心到截面abc距离为-=.
答案： 二备考感悟。
1.命题与备考。
本部分在高考中重点是以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特点，是每年必考内容，在备考中要注意三视图的画法原则及由三视图还原几何体的技巧运用，同时掌握与球有关的切、接问题。
2.小题快做。
判断三视图时，要注意三视图中实、虚线的运用
三热点考向突破。
考向一空间几何体的三视图及应用。
该类问题有两种类型：一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体。通常的解法是找准投影面及三个视图之间的关系，作出判断。
例1】 (2024年高考陕西卷)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为( )
关注细节：判断三视图的形状时要选准投影面，并判断几何体关键点在投影面内的投影，再连接各投影点，形成视图形状。
热点训练1:(2024年山东济南调研)如图所示，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且其体积为。则该几何体的俯视图可以是( )
解析：若俯视图是a选项，则其体积为1,故选项a错误；若俯视图是b选项，则其三个视图的尺寸存在矛盾，故选项b错误；若俯视图是c选项，则其体积应为，故选项c错误；当俯视图是d选项时，该几何体是一个圆柱的，其体积为，故选项d正确。故选d.
考向二空间几何体的结构特征及应用。
在理解棱柱、棱锥、棱台的概念基础上，结合图形，正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，要注意结合图形或举例去分析。
例2】 给出下列命题：
在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体。
其中正确命题的序号是 .
解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体abcda1b1c1d1中的四面体acb1d1;②错误，如图所示，底面△abc为等边三角形，可令ab=vb=vc=bc=ac,则△vbc为等边三角形，△vab和△vca均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面；④错误，如果有两条侧棱和底面垂直，则它们平行，不可能；⑤正确，当两个侧面的公共边垂直于底面时成立；⑥错误，当底面是菱形时，此说法不成立，所以应填①⑤.
答案：①⑤关注细节：由空间几何体的结构特征判断几何体时，切忌只判断底面或侧面特征，忽视了另一方面，造成失误，要综合分析判断。
热点训练2:以下命题中，说法正确的是 .
底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形。
解析：命题①不是真命题，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱是斜四棱柱；命题②不是真命题，直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥，如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥；命题③是真命题，如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa⊥平面abcd,则可以得到四个侧面都是直角三角形。
答案：③考向三空间几何体的表面积与体积。
与三视图相结合的空间几何体的表面积与体积求法：
1)由三视图还原几何体；
2)确定几何体的特性，几何体高即正视图或侧视图的高，底面的长与宽可由俯视图确定；
3)选择恰当方法计算表面积或体积。
例3】 (2024年高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
a)28+6 (b)30+6 (c)56+12 (d)60+12
解析：由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中ae⊥平面bcd,cd⊥bd,且cd=4,bd=5,be=2,ed=3,ae=4.
ae=4,ed=3,∴ad=5.
又cd⊥bd,cd⊥ae,则cd⊥平面abd,
故cd⊥ad,所以ac=且s△acd=10.
在rt△abe中，ae=4,be=2,故ab=2.
在rt△bcd中，bd=5,cd=4,故s△bcd=10,且bc=.
在△abd中，ae=4,bd=5,故s△abd=10.
在△abc中，ab=2,bc=ac=,则ab边上的高h=6,故s△abc=×2×6=6.
因此，该三棱锥的表面积为s=30+6.故选b.
关注细节：(1)由三视图还原成几何体注意结合条件分析判断几何体的每一个面的形状。
2)计算时要注意三视图中标注的数值与空间几何体对应关系。
3)求不规则几何体的体积要有割补法处理问题的意识。求三棱锥体积时，可用不同顶点来表示几何体，由等积法，化难为易。
热点训练3:(2024年河北模拟)如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )
a)24b)12 (c)8d)4
解析：依题意知，该几何体是一个长方体中挖去一个三棱柱后剩下的几何体，因此其体积等于2×3×4-×(2×3)×4=12,故选b.
2.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π+,则正视图中x的值为( )
a)5b)4c)3 (d)2
解析：由空间几何体三视图知上部分为正四棱锥，下部分为圆柱。正四棱锥的高为=,底面正方形的边长为2;下部为圆柱，圆柱的高为x,底面圆的直径为正四棱锥=×(2)2×=,v圆柱=π×22×x=4πx,依题意有+4πx=12π+,得x=3,故选c.
例2】 如图所示，某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的外接球的体积是 .
解析：依题意得知，该几何体是一个正四棱锥，其中底面是边长为2的正方形、高是，因此底面的中心到各顶点的距离都等于，即该几何体的外接球球心为底面正方形的中心，外接球半径为，故该几何体的外接球的体积等于π×(3=π.
答案：π第1讲空间几何体。
选题明细表】
一、选择题。
1.利用斜二测画法得到的。
三角形的直观图是三角形。
平行四边形的直观图是平行四边形。
正方形的直观图是正方形。
菱形的直观图是菱形。
以上结论正确的是( a )
a)仅①② b)仅① (c)仅③④ d)①②
解析：由斜二测画法可知三角形得到的直观图仍是三角形，平行四边形得到的直观图仍是平行四边形，正方形得到的直观图是平行四边形，菱形无法得到菱形。故选a.
2.(2024年青岛摸底测试)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( a )
a)②③b)①②
c)①③d)①②
解析：①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形。故选a.
3.过圆锥的高的中点作平行于底面的截面，它把圆锥分成两部分的侧面面积之比为( b )
a)1∶2 (b)1∶3 (c)2∶3 (d)1∶4
解析：大圆锥被分成两部分的侧面积分别设为s1,s2,则s2=4s1-s1=3s1,s1∶s2=1∶3,故选b.
4.(2024年山东济南模拟)用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为( c )
a)24 (b)23 (c)22 (d)21
解析：由几何体的三视图得其直观图如图。
这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体、上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为22.
5.如图，不是正四面体的表面展开图的是( d )
a)①⑥b)②⑤c)③④d)④⑤
解析：④⑤不能折成四面体。故选d.
6.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( c )
解析：由于空间几何体的正视图和侧视图高相等，故正视图的高一定是2,由于正视图和俯视图长相等，故正视图的底面边长为2,又根据侧视图可知这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综上可知，这个空间几何体的正视图可能是c.
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