答案。1答案 b
解析记三棱柱为abc-a1b1c1，且其中侧面abb1a1是边长为2的正方形，侧面acc1a1、bcc1b1都是菱形，且∠c1ca=∠c1cb=，如图所示，则由已知。
可得△abc是边长为2的正三角形，作c1o⊥平面abc于点o，连结co，易知点。
o在∠acb的平分线上，且cos∠c1ca=cos∠c1co·cos∠aco，即cos=cos∠c1co·cos30°，cos∠c1co=sin∠c1co=在rt△c1co中，sin∠c1co=因此该棱柱的体积等于选b.
2答案 b
解析记正四棱锥为p-abcd，设底面abcd的边长为a,作po⊥平面abcd于点o，连结oa，则∠pao是侧棱pa与底面abcd所成的角，∠pao=，在rt△pao中，cos∠pao=，由此解得a==3,因此该棱锥的体积等于故选b.
3答案 d
解析该几何体下面是一个底面半径为1，母线长为3的圆柱，上面是一个半径为1
的球，其表面积是×1×3+2××12+4×12=12
4答案 a解析根据几何体的形状，再结合侧（左）视图的特点，可以得到结果。
5答案 c填空题。
6答案 bd
解析依题意，a升水为容器容积的一半，故d是真命题，a是假命题；又容器里面相对四个侧面是对称的，而上下不对称，故b是真命题，c是假命题。
7答案 2解析设正四棱柱的底面边长为a,侧棱长为b，依题意得由此解得a=1,b=2，因此该正四棱柱的体积等于a2b=2.
8答案 9解析设三棱锥为s-abc，则依题意，三棱锥s-abc的三条侧棱两两垂直，且sa=sb=sc=
ab=bc=ca=设球的半径为r，则由题意可得+（
r=球的表面积为s=4
9案 （理） （文）
解答题。10题。
1）证明在△abd中，由于ad=4,bd=8,ab=，所以ad2+bd2=ab2.故ad⊥bd.
又平面pad⊥平面abcd，平面平面abcd=ad,平面abcd，所以bd⊥平面pad,又平面mbd，故平面mbd⊥平面pad.
2）解过p作po⊥ad交ad于o，由于平面pad⊥平面abcd，所以po⊥平面abcd.
因此po为四棱锥p-abcd的高，又△pad是边长为4的等边三角形，因此。
在底面四边形abcd中，ab∥dc, ab=2dc,所以四边形abcd是梯形，在rt△adb中，斜边ab边上的高为。
此即为梯形abcd的高，所以四边形abcd的面积为。
故。11题。
解（1）∵bd是圆的直径，∴∠bad=90，又△adp∽△bad，.
（2）在rt△bcd中，cd=bdcos45=r.∵pd2+cd2=9r2+2r2=11r2=pc2，pd⊥cd，又 ∠pda=∠dab=90，∴pd⊥底面abcd.
s△abc=ab×bc sin(60+45)= r×r=r2，则三棱锥p-abc的体积为。
12题。1）解如图。
2）解所求多面体的体积。
（cm3）.
3）证明如图（2），在长方体中，连结，则．
因为分别为，的中点，所以，从而．又平面，所以面．
图（2）第二章简单几何体。
第一节棱柱与棱锥。
2024年高考题。
一、选择题。
1．(08四川)（文）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于 （
ab.2c.3d.4
2. （08全国ⅱ）（文）正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为 （
a．3b．6c．9d．18
3.（08山东下图一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 (
a.9 b.10c.11d. 12
4.（08广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示），a、b、c分别是三边的中点得。
几何体如图，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
5.（08宁夏，海南）（理）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ）
abc. 4d.
二、填空题。
6．（08江西）（理）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点p．如果将容器倒置，水面也恰好过点p(图2)．有下列四个命题：
a．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半。
b．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点p
c．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好。
经过点pd．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满。
其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．
7．（08四川）（理）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于。
8.(08福建)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
9.（08宁夏、海南）（理）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个。
面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为。
文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱。
的高为底面周长为3，那么这个球的体积为。
三、解答题。
10.（08山东）（文）如图，在四棱锥p-abcd中，平面pad⊥平面abcd，ab∥dc,△pad是等边三角形，已知bd＝2ad=8, ab=2dc=.
1）设m是pc上的一点，证明：平面mbd⊥平面pad;
2）求四棱锥p-abcd的体积。
11.（08广东）（文）如图所示，四棱锥p-abcd的底面abcd是半径为r的圆的内接四
边形，其中bd是圆的直径， .
1）求线段pd的长；
2）若，求三棱锥p-abc的体积。
12.(08宁夏、海南)（文）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.
1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
3）在所给直观图中连结，证明：∥面efg.
图（1）
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