三、解答题。
28.【2012高考新课标理19】（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，是棱的中点，
1）证明：
2）求二面角的大小。
答案】（1）在中，
得： 同理：
得：面。（2）面。
取的中点，过点作于点，连接，面面面。
得：点与点重合。
且是二面角的平面角。
设，则， 既二面角的大小为。
29.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．
求证：（1）平面平面；
（2）直线平面．
答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。
又∵平面，∴。
又∵平面，∴平面。
又∵平面，∴平面平面。
2）∵，为的中点，∴。
又∵平面，且平面，∴。
又∵平面，，∴平面。
由（1）知，平面，∴∥
又∵平面平面，∴直线平面。
考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。
解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。
（2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。
31.【2012高考福建理18】如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中aa1=ad=1，e为cd中点。
ⅰ）求证：b1e⊥ad1；
ⅱ）在棱aa1上是否存在一点p，使得dp∥平面b1ae？若存在，求ap的行；若存在，求ap的长；若不存在，说明理由。
ⅲ）若二面角a-b1ea1的大小为30°，求ab的长。
解答：ⅰ）长方体中，得：面。
面。ⅱ）取的中点为，中点为，连接。
在中，面。此时。
ⅲ）设，连接，过点作于点，连接。
面，得：是二面角的平面角。
在中，在矩形中，得：
32.【2012高考北京理16】（本小题共14分）
如图1，在rt△abc中，∠c=90°，bc=3，ac=6，d，e分别是ac，ab上的点，且de∥bc，de=2，将△ade沿de折起到△a1de的位置，使a1c⊥cd,如图2.
i)求证：a1c⊥平面bcde；
ii)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；
iii)线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由。
答案】解：（1），平面，又平面，又，平面。
2）如图建系，则，设平面法向量为。
则 ∴ 又∵，与平面所成角的大小。
3）设线段上存在点，设点坐标为，则。
则，设平面法向量为，则 ∴
假设平面与平面垂直，则，∴，不存**段上存在点，使平面与平面垂直。
34.【2012高考重庆理19】（本小题满分12分如图，在直三棱柱中，ab=4，ac=bc=3，d为ab的中点。
ⅰ）求点c到平面的距离；
ⅱ）若求二面角的平面角的余弦值。
命题立意】本题考查立体几何的相关知识，考查线面垂直关系、二面角的求法以及空间向量在立体几何中的应用。
解：（1）由，为的中点，得，又，故，所以点到平面的距离为。
2)如图，取为的中点，连结，则，又由（1）知，故，所以为所求的二面角的平面角。
因为在面上的射影，又已知，由三垂线定理的逆定理得，从而都与互余，因此，所以，因此，,即，得。
从而，所以，在中，。
35.【2012高考江西理19】（本题满分12分）
在三棱柱abc-a1b1c1中，已知ab=ac=aa1=，bc=4，在a1在底面abc的投影是线段bc的中点o。
1）证明在侧棱aa1上存在一点e，使得oe⊥平面bb1c1c，并求出ae的长；
2）求平面a1b1c与平面bb1c1c夹角的余弦值。
解：（1）证明：连接ao，在中，作于点e，因为，得，因为平面abc，所以，因为，得，所以平面，所以，所以平面，又，得。
2)如图所示，分别以所在的直线。
为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,0), c(0,-2,0), a1(0.0,2),b(0,2,0)
由（1）可知得点e的坐标为，由（1）可知平面的法向量是，设平面的法向量，由，得，令，得，即。
所以。即平面平面与平面bb1c1c夹角的余弦值是。
点评】本题考查线面垂直，二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力。 高考中，立体几何解答题一般有以下三大方向的考查。一、考查与垂直，平行有关的线面关系的证明；二、考查空间几何体的体积与表面积；三、考查异面角，线面角，二面角等角度问题。
前两种考查多出现在第1问，第3种考查多出现在第2问；对于角度问题，一般有直接法与空间向量法两种求解方法。
36.【2012高考安徽理18】（本小题满分12分）
平面图形如图4所示，其中是矩形，，，现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。
ⅰ）证明求的长；
ⅲ）求二面角的余弦值。
答案】本题考查平面图形与空间图形的转化，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定。空间线段长度和空间角的余弦值的计算等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和求解能力。
解析】(综合法)
）取的中点为点，连接，则，面面面，同理：面得：共面，又面。
ⅱ）延长到，使，得：，面面面面，ⅲ）是二面角的平面角。
在中，在中，得：二面角的余弦值为。
解]（1）因为pa⊥底面abcd，所以pa⊥cd，又ad⊥cd，所以cd⊥平面pad，从而cd⊥pd3分。
因为pd=，cd=2，所以三角形pcd的面积为6分。
（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则b(2, 0, 0)，c(2, 2,0)，e(1, ,1)，8分。
设与的夹角为，则。
由此可知，异面直线bc与ae所成的角的大小是12分。
解法二]取pb中点f，连接ef、af，则。
ef∥bc，从而∠aef（或其补角）是异面直线。
bc与ae所成的角 ……8分。
在中，由ef=、af=、ae=2
知是等腰直角三角形，所以∠aef=.
因此异面直线bc与ae所成的角的大小是12分。
点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用。本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．
命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。
从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。
解：设，以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。
ⅰ）证明：由得， 所以，，，所以，所以，，所以平面；
ⅱ） 设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。
所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为。
点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。
39.【2012高考山东理18】（18）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，平面。
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求二面角的余弦值。
答案】ⅰ）证明：因为四边形为等腰梯形，所以 ．
又 ，所以
因此 ，又 ，且，平面，所以平面．
（ⅱ）解法一：
由（i）知，所以，又平面，因此两两垂直．以为坐标原点，分别以所在的直。
线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，因此 ，．
设平面的一个法向量为，则 ，所以 ，取，则 ．
又平面的法向量可以取为，所以 ，所以二面角的余弦值为．
解法二：取的中点，连结，由于，所以．
又平面，平面，所以．
由于，平面，所以平面，故．
所以为二面角的平面角．
在等腰三角形中，由于，因此，又，所以，故 ,因此二面角的余弦值为．
40.【2012高考湖南理18】（本小题满分12分）
如图5，在四棱锥p-abcd中，pa⊥平面abcd，ab=4，bc=3，ad=5，∠dab=∠abc=90°，e是cd的中点。
ⅰ）证明：cd⊥平面pae；
ⅱ）若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥p-abcd的体积。
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