第9章立体几何。
考点：长方体，圆柱体，球体。
一、 知识点。
长方体：由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫长方体。
柱体：一个多面体有两个面互相平行，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱体，如圆柱体，矩形柱体。
球体：空间中到定点的距离小于或等于定长的所有点组成的图形叫做球。
1、体积公式：
柱体：，圆柱体：。
斜棱柱体积：（其中，是直截面面积，是侧棱长）；
球体：。2、侧面积：
直棱柱侧面积：，斜棱柱侧面积：；
圆柱侧面积：，
二、 经典例题。
例1：★★圆柱体的底面半径和高的比是1:3，若体积增加到原来的4倍，底面半径和高的比保持不变，则底面半径（ ）
a、增加到原来的倍 b、增加到原来的倍。
c、增加到原来的倍 d、增加得到原来的倍。
e、增加到原来的4倍。
答案：选c，本题考查圆柱体的体积公式。
由题，设圆柱体的底面半径为，则高为，，原体积，变化后的体积为，设变化后底面半径为，高为，那么，，也即。
因此底面半径增加到原来的倍，选c
例2：★球的内接正方体的边长为1，则此球的表面积是（ ）
a、 b、 c、 d、 e、
答案：选c，本题考查球内接正方体的性质及球的表面积求解公式。
如图所示，正方体的体对角线经过球心，从而ac为球直径，，那么所求球的表面积，故选c
例3：★★一个圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，则圆柱和球的体积之比是（ ）
a. b. c. d. e.以上均不对。
答案：选d，本题考查圆柱与球的体积计算公式。
由题，设球的半径为r，则球的体积，由已知条件知，圆柱体的底面半径为r，高，那么圆柱体积，从而，故选d
例4：★★三个球中，最大球的体积是另外两个球体积和的4倍，1）三个球的半径之比为。
2）大球的半径是另两个球的半径之和。
答案：选e，本题考查球的体积计算公式。
由条件（1），设三个球的半径分别是r，2r，3r，那么最大球的体积是，两小球的体积分别是故即，故条件（1）不充分；由条件（2），设大球半径，两小球半径分别为，则三个球的体积分别为：，因为，不一定成立，所以条件（2）不充分。综上，选e。
例5：★★圆柱体积是正方体体积的倍，1）圆柱的高与正方体的高相等。
2）圆柱的侧面积与正方体的侧面积相等。
答案：选e，本题考查圆柱体与正方体的侧面积及体积公式。由条件（1）和条件（2）显然单独都无法确定圆柱与正方体的体积之间的关系，将条件（1）与条件（2）联合，设正方体的棱长是a，有条件（1），圆柱体高h=a，设圆柱体底面半径是r，则有，由条件（2），，得到，所以， 故选e
例6：★两个同心球，一个半径为3，另一个半径为1，则两个同心球之间的部分的体积是（ ）
a、 b、 c、 d、 e、以上均不对。
答案：选a，本题考查球的体积计算公式。由题：，故选a
例7：★★可以确定一个长方体的体积，（
1）已知长方体的体对角线的长。
2）已知长方体的表面积。
答案：选e，本题考查长方体的表面积和体积计算公式。
假设长方体的棱长是a,b,c，由题干，要求求出v=abc，由条件（1），已知全面积是，不充分由条件（2），已知体对角线长是，不充分，考虑条件（1）和条件（2）联合，三个未知数两个方程，因此a,b,c的值不确定，所以也不充分，故选e
例8：★★一个直径为32厘米的圆柱体盛水容器中，放入一个实心球后，水面升高了9厘米。
1）铁球的直径是24厘米。
2）铁球的表面积是平方厘米。
答案：选a，本题考查圆柱体和球体的体积计算公式。
由题干，可推出铁球半径，设为r，则由题意：，即r=12(厘米），由条件（1），r=12（厘米），充分；由条件（2），（厘米），不充分；综上，选a
例9：★★如图，一个储物罐的下半部分是底面直径与高均是20m的圆柱形、上半部分（顶部）是半球形，已知底面与顶部的造价是400/，侧面的造价是300/，该储物罐的造价是（ ）
a、62.8万元 b、67.42万元。
c、75.36万元 d、87.92万元。
e、以上均不对。
答案：选c，本题考查圆柱与球的表面积计算公式。
由已知，圆柱的底面半径和高分别是：，则，侧面面积为；底面和顶部的面积为，它们的造价分别是和那么总造价为万元，故选c
例10：★★现有一个半径为r的球体，拟用刨床将其加工成正方体，那么能加工的最大正方体的体积是（ ）
a、 b、 c、 d、 e、
答案：选b，本题考查球的内接正方体的性质。
由题意，当正方体的体对角线是球的直径时，正方体的体积最大，此时设正方体的边长为a，那么，即，所以正方体的体积，故选b
例11：★球的大圆面积扩大为原大圆面积的8倍，则球的表面积扩大成原球面积的（ ）
a、2倍 b、4倍 c、8倍 d、16倍 e、32倍。
答案：c，本题考查球的表面积计算公式。由题，圆的面积计算公式是，球的表面积计算公式是4，所以，表面积扩大的倍数与大圆扩大的倍数是相同的。即选c。
例12：★三个球的半径之比为1：3：5，则最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）
a、1倍 b、2倍 c、倍 d、倍 e、以上均不对。
答案：c，本题考查球的表面积计算公式。假设三个球的半径分别是t，3t，5t，所以三个球的表面积分别是，，，所以，选c。
例13：★★长方体的一个顶点上三条棱的长分别是1,2,3，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
a、 b、 c、 d、 e、
答案：c，本题考查球的表面积计算公式。由题知，长方体的体对角线长为。
此即为球的直径，故球的表面积为，选c。
例14：★★将一个边长为a的正方体，切成64个全等的小正方体，那么表面积增加了（ ）
a、 b、 c、 d、 e、
答案：d，本题考查正方体的表面积计算公式。由题知，原正方体的表面积是，体积是；切完后的每个小正方体的体积是，边长为，表面积为；故总的表面积是；所以表面积增加了，选d。
例15：★★一张长是8，宽是4的矩形铁皮卷成一个圆柱体的侧面，其高是8，则这个圆柱体的体积是（ ）
a、 bc、 d、64 e、32
答案：a，本题考查圆柱体的性质。圆柱体的侧面积是，高为8，故，从而体积，选a。
数学立体几何
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